J. 6448
99 MATH. II

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MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHATJSSÉES, BCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAIJTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCgES, DES TeLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MlNES DE NANCY, DES TÉI,ÉCOMMIJNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOUKS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIOUES

DEUXIkME ÉPREUVE FILIÈRE MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'emploi de la calculette est interdit.
Sujet mis Ci la disposition du concours E.N.T.P.E. . Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES II - M P . L'énonce'de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncC, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit E I'ecyace vectoriel complexe des fonctions complexes définies et continues sur le segment I = [O, XI. Soit li.lla l'application qui, B toute fonction f de E, associe le maximum du module de la fonction f sur l'intervalle 1 : llfllm = max If(x)l
0SXS;x

.

Il est connu que l'espace (E,II.II~) est un espace vectoriel nomé.

Soit 7;' le sous-ensemble des fonctions f, continûment dérivables, qui appartiennent à l'espace vectoriel E, qui prennent la valeur O aux points O et n et dont l'intégrale du carré du module de la fonction dérivée f' est majorée par 1.

3; = { f I f€E , f€Cf(I),
Soit

l'ensemble des fonctions complexes f définies sur le segment 1 = [O, n] possédant

L

lf'(x)12 dx 4 1, f(0) = f(x) = O } .

la propriété : il existe une suite complexe (bn)nJ1, telle que la série de terme général cn = n* Ibnl*, nJ1, est convergente et sa somme est majorée par 2/n, pour tout x réel de l'intervalle 1, la série trigonométrique de terme général bn sin(nx), n21, est convergente et sa somme est égale à f(x).
= { f I f est définie sur 1, il