Mines 1991

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J. 6448
99 MATH. II

-

MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHATJSSÉES, BCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAIJTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCgES, DES TeLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MlNES DE NANCY, DES TÉI,ÉCOMMIJNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOUKS D'ADMISSION 1999 MATHÉMATIOUES

DEUXIkME ÉPREUVE FILIÈRE MP(Durée de l'épreuve : 4 heures) L'emploi de la calculette est interdit.
Sujet mis Ci la disposition du concours E.N.T.P.E. . Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHEMATIQUES II - M P . L'énonce'de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncC,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit E I'ecyace vectoriel complexe des fonctions complexes définies et continues sur le segment I = [O, XI. Soit li.lla l'application qui, B toute fonction f de E, associe le maximum du module de la fonction f sur l'intervalle 1 :
llfllm = max If(x)l
0SXS;x

.

Ilest connu que l'espace (E,II.II~) est un espace vectoriel nomé.

Soit 7;' le sous-ensemble des fonctions f, continûment dérivables, qui appartiennent à l'espace vectoriel E, qui prennent la valeur O aux points O et n et dont l'intégrale du carré du module de la fonction dérivée f' est majorée par 1.

3; = { f I f€E , f€Cf(I),
Soit

l'ensemble des fonctions complexes f définies sur le segment1 = [O, n] possédant

L

lf'(x)12 dx 4 1, f(0) = f(x) = O } .

la propriété : il existe une suite complexe (bn)nJ1, telle que la série de terme général cn = n* Ibnl*, nJ1, est convergente et sa somme est majorée par 2/n, pour tout x réel de l'intervalle 1, la série trigonométrique de terme général bn sin(nx), n21, est convergente et sa somme est égale à f(x).
= { f I f est définie sur 1, ilexiste une suite de nombres complexes bn, n2 1 telle que :

2
n=l

'x

2 n2 lbn12 4 - ,pour tout réel x de 1, f(x) = n

2
n=l

m

bn sin(nx)

}.

Le but du problème est d'étudier d'une part les relations existant entre les ensembles
et g, d'autre part leurs propriétés.

y

Tournez la page S.V.P.

Première partie Résultats préliminaires.
1-lo)Converpence de la sérietrinonométriaue b,- sin(nx). n 2 1 : Soit une suite complexe (bn)n>l telle que la série de terme général n2 Ibnl', n>1, soit convergente. Démontrer que la série de terme général bn, n > 1, est absolument convergente en utilisant par exemple l'inégalité : pour deux réels positifs a et b, 2ab4 (a2 + b2). En déduire que l'ensemble g est un sous-ensemble de l'espace vectoriel E ; ECE. 1-2")Un exemde defonction appartenant à l'ensemble a.
:

En admettant le résultat classique : la somme de la série de terme général n21, est égale à
Jc2 -, calculer la somme S de la série de terme général 6
92

1 7,

1

(2k + 1)2 '

k$O :
b.

1 ' = 2k=2 k + l ) ' (O

.

Soit h la fonction définie sur l'intervalle 1 par la relation : h(x) = min(x, x - x). Soit la fonction définie sur la droiteréelle, impaire, périodique de p6riod h,
de restriction à l'intervalle I égale h la fonction h : pour tout réel x, h (-x) = - h (x), h (x+Zx) = h (x),

pour tout réel x de l'intervalle 1, h (x) = h(x). i/ Montrer que la fonction i; est continue ;déterminer sa série de Fourier ; ii/ Quelle est la somme de la série de Fourier de la fonction h ? Retrouver la valeur de S calculée ci-dessus. 1 iii/ Endéduire que la fonction k : XH h(x) appartient à l'ensemble -

&

g.

1-3") Égalité entre une fonction périodique et la somme de sa série de Fourier : Étant données deux fonctions complexes f et g, définies et continues sur la droite réelle, 2x-périodiques, il est admis que, si les coefficients de Fourier des fonctions f
et g sont égaux, les deux fonctions f et g sont égales : I'égalité,...
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