Mines ponts 2011 mp maths 1

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´ MINES-PONTS 2001. Fili`re MP. MATHEMATIQUES 1. e Corrig´ de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) e I.1. Premi`res propri´t´s. e e e a. Si x est vecteur co-propre (non nul) associ´ a µ 1 et µ2 il vient (µ1 − µ2 )x = 0 donc µ1 = µ2 car x = 0. e` cqfd. b. Si µ est valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθest ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej ) sur la base B = (ek). Soit x =
n n k=1
£ ¢

n

xk ek et y = u(x).
k=1

Il vient y =
k=1

xk u(ek ) donc yi =

xk aik . Ainsi Y = AX .

b Soit x quelconque de E et soit y = u(x). Avec des notations claires on a, d’apr`s a. ci-dessus : e Y = AX et Y = BX . Or Y = SY et X = SX donc SY = ASX = AS X soit Y = S −1 AS X puisque S est inversible. Il en r´sulte que ∆X = 0 avec ∆ = B − S −1 AS et cela pourtout vecteur x donc pour toute colonne e X . En prenant X successivement ´gal aux vecteurs de la base canonique de C n , il vient que toutes les colonnes e de ∆ sont nulles donc que ∆ est nulle. Ainsi B = S −1 AS . I.3. Exemples. a. Si X est vecteur co-propre (non nul) associ´ a la valeur co-propre µ il vient e` b = −|µ|2b b = −µa . donc a = µb a = µb Or X = 0 donc b = 0 car b = 0 implique a = 0 doncX = 0. Ainsi |µ| 2 = −1 ce qui est impossible. La rotation d’angle π/2 n’admet aucune valeur co-propre.
£ ¢ ¡  

b. Si A est r´elle et admet une valeur propre r´elle λ alors il existe X vecteur r´el non nul tel que AX = λX. Or e e e X = X de sorte que AX = λX. Si λ ∈ R est valeur propre de la matrice r´elle A alors elle est ´galement valeur co-propre . e e I.4. Valeurs co-propre de A etvaleurs propres de AA. a. De AX = µX on tire imm´diatement AAX = |µ|2X. e cqfd. b. Avec les notations de l’´nonc´ : e e • Supposons AX et X li´s. Comme X = 0, il existe α ∈ C tel que AX = αX ce qui implique que α est valeur e co-propre de A. D’apr`s a. ci-dessus AAX = |α| 2X. Donc λX = |α|2X et λ = |α|2 car X = 0. Il en √ sulte qu’il e √ r´ e existe θ ∈ R tel que α = λeiθ . Comme α est valeur co-proprede A, il en d´coule d’apr`s 1.b. que λ = αe−iθ e e est ´galement valeur co-propre . cqfd. e √ • Supposons d´sormais AX et X ind´pendants. Il est naturel de chercher un vecteur co-propre associ´ a λ dans le e e e` plan engendr´ par ces deux vecteurs ce qui revient a chercher un vecteur co-propre de la forme Y = AX + αX. e ` √ Or AY = λX + αAX. On constate que α = λ convient. cqfd. Autre solutiondans ce cas : soit u l’application semi-lin´aire de matrice A dans la base canonique. On v´rifie e e facilement que le plan engendr´ par les deux vecteurs AX et X est stable par u et que la matrice de la restriction e √ 0 1 v de u a ce plan dans la base AX, X est ` . Or cette matrice est r´elle et admet λ comme valeur propre e λ 0 √ donc, d’apr`s 3.b., λ est valeur co-propre de v donc de u. cqfd. ec. Il d´coule imm´diatement de a. et de b. que : e e µ 0 est valeur co-propre de A si et seulement si µ 2 est valeur propre de AA. I.5. Cas d’une matrice triangulaire sup´rieure. e a. Soit A triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (λ 1 , λ2 , .. ., λn). Classiquement la matrice AA est e triangulaire sup´rieure de diagonale donc de spectre (|λ 1|2, |λ2|2, . .., |λn|2). Ainsi si λ estvaleur propre de A alors e |λ|2 est valeur propre de AA. D’apr`s 4. ci-dessus, |λ| est valeur co-propre de A, donc λ ´galement d’apr`s 1.b., e e e donc encore λeiθ pour tout r´el θ toujours d’apr`s 1.b. cqfd. e e b. Si µ est valeur co-propre de A alors |µ| ´galement d’apr`s 1.b. donc |µ| 2 est valeur propre de AA donc figure sur la e e diagonale. Donc il existe λ sur la diagonale de A donc...
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