Concours Mines-Ponts 2006

Épreuve : PHYSIQUE II
Correction proposée par Eddie Saudrais e.saudrais@wanadoo.fr

Filière PSI

Partie I Évolution de l’air contenu dans une bulle
I-1 Propagation du son dans l’air
K 1 – L’équation d’Euler s’écrit
− −→ −− −→ ∂→ → − − → v ρ + (− · grad )− = −grad p . v v ∂t En se limitant aux termes du premier ordre (on se place dans le cadre de l’approximation acoustique), on obtient − −− −→ ∂→ v ρ0 = −grad p 1 . (I.1) ∂t L’équation de conservation de la matière s’écrit ∂ρ − div(ρ→) + v = 0. ∂t En se limitant aux termes du premier ordre, on obtient − ρ 0 div → + v ∂ρ 1 =0 . ∂t (I.2)

La variation de la masse volumique étant ρ − ρ 0 = ρ 1 et celle de la pression p − p 0 = p 1 , on a ∂ρ ρ1 = , ∂p S p 1 d’où au premier ordre χ0 = 1 ρ1 . ρ0 p1 (I.4)

Pour une transformation isentropique, la loi de Laplace s’écrit pV γ = cte, soit pρ −γ = cte. On a alors dp dρ −γ = 0, p ρ d’où ∂ρ ∂p ρ . γp

=
S

D’après l’équation (I.3), on a donc χ0 = 1 1 ≈ . γp γp 0

K 2 – Si le temps caractéristique de l’évolution de l’air est petit devant le temps caractéristique des échanges thermiques par diffusion au sein de l’air, on peut considérer l’évolution comme isentropique ; c’est le cas ici, si les grandeurs ne varient pas trop lentement. Par définition, on a 1 ∂V χ0 = − . V ∂p S Une masse m d’air a un volume V = χ0 = − soit χ0 = 1 ∂ρ ρ ∂p .
S m ρ . On a donc

K 3 – D’après les équations (I.1) et (I.2), on a ρ soit − −− −→ ∂ div → v = − div(grad p 1 ) = −∆p 1 , ∂t ∂2 ρ 1 = −∆p 1 . ∂t 2

ρ ∂V ∂ρ m ∂ρ ∂p

=−
S

ρ m − 2 m ρ

∂ρ ∂p

− ,
S

D’après l’équation (I.4), on en déduit (I.3) ρ 0 χ0 ∂2 p 1 = ∆p 1 . ∂t 2

(I.5)

Mines-Ponts 2006 — Physique II

Filière PSI

La surpression vérifie l’équation de d’Alembert solutions étant c=

2 1 ∂ p1 c 2 ∂t 2

= ∆p 1 , la vitesse caractéristique des

Partie II Oscillations d’une bulle d’air dans l’eau
II-1 Oscillations dans un fluide parfait incompressible
K 7 – Le fluide