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´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´ ´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´ ´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2009 ` ´ PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili` re MP e (Dur´ e del’´ preuve: 3 heures) e e L’usage de la calculatrice est autoris´ e
` Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international

Les candidats sont pri´ s de mentionner de facon apparente sur la premi` re page de la copie : e ¸ e PHYSIQUE I — MP. L’´ nonc´ de cette epreuve comporte 7 pages. e e ´
ˆ – Si, au cours de l’´ preuve, un candidat rep` rece qui lui semble etre une erreur d’´ nonc´ , il est invit´ a le e e e e e` ` ´e signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura et´ amen´ a prendre. e` ` – Il ne faudra pas h´ siter a formuler les commentaires (incluant des consid´ rations num´ riques) qui vous e e e sembleront pertinents, mˆ me lorsque l’´ nonc´ ne le demande pasexplicitement. Le bar` me tiendra compte e e e e de ces initiatives ainsi que des qualit´ s de r´ daction de la copie. e e

` A PROPOS DE HEINRICH OLBERS
L’astronome allemand H EINRICH W. M. O LBERS (1758—1840) d´ couvrit les ast´ ro¨des Pallas et e e ı Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il r´ alisa la premi` re observation de la com` te qui porte son e e e ´e e nom (13P/Olbers). Les caract´ ristiquesorbitales de cette com` te ont et´ d´ termin´ es initialement par e e e ´e C. F. G AUSS et F. B ESSEL. Elle a et´ observ´ e pour la derni` re fois lors de son passage au p´ rih´ lie e e e e (distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines propri´ t´ s de cette com` te sont examin´ es ee e e dans la Partie I. ´ O LBERS a aussi etudi´ le paradoxe qui porte aujourd’hui son nom : sil’univers contient une multitude e d’´ toiles distribu´ es a peu pr` s r´ guli` rement, un observateur terrestre qui observe le ciel dans une e e ` e e e ´ direction arbitraire devrait toujours voir au moins une etoile, aussi lointaine soit-elle ; tout point du ciel devrait donc sembler brillant, de jour comme de nuit. Certains aspects de cette affirmation paradoxale seront discut´ s dans la partie II. eLes vecteurs sont not´ s en caract` res gras : v, F et leurs normes en italique v = v, F = F. Dans e e le syst` me de coordonn´ es sph´ riques (r, θ , ϕ ) et dans la base orthonorm´ e (er , eθ , eϕ ), on rappelle e e e e 1∂f ∂f 1 ∂f dx er + la d´ riv´ e d’une fonction x(t). e e que grad f (r, θ , ϕ ) = eθ + eϕ . On note x = ˙ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ dt

` A PROPOS DE HEINRICH OLBERS

I. — La com`te 13P/Olbers e
ˆ Les parties I.A et I.B de ce probl` me peuvent etre abord´ es ind´ pendamment. e e e

e I.A. — Mouvements com´ taires
´ ` On etudie dans cette partie le mouvement d’un corps ponctuel M de masse m, soumis a l’action d’un ` centre attracteur fixe a l’origine O des coordonn´ es d’un r´ f´ rentiel galil´ en R. On posera r = OM . e ee e L’action de ce centre attracteur est d´ critepar une force unique F = −m · gradU(r), o` U est une e u e fonction suppos´ e connue. On note aussi v la vitesse de M dans R, LO = m OM ∧ v, L = LO > 0 et C = L/m 1 — Montrer que le mouvement de M est plan. On choisira d’appeler (Oxy) ce plan, orient´ par la convention LO = L ez ; l’´ tude du mouvement de e e M dans (Oxy) s’effectuera en coordonn´ es polaires (r, ϕ ). e 2 — On note E = mε l’´nergie m´ canique de M. Exprimer ε en fonction de r, C, r et U(r). e e ˙ Le point M est en fait le centre d’une com` te sph´ rique et homog` ne se d´ placant dans le champ e e e e ¸ de gravitation du Soleil (de masse M⊙ ). Pour tout le reste de la partie I.A, on adopte l’expression U(r) = −K/r o` K est une constante, et l’on se place dans le r´ f´ rentiel suppos´ e galil´ en dans u ee e e lequel...
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