Pˆle Kerichen-Vauban PCSI 2 o

Du 29 mars au 2 avril 2010

Programme de colle N° 22
XX. Espaces vectoriels
K d´signe le corps R ou C e I. Structure d’espace vectoriel 1. D´finition d’un espace vectoriel e 2. D´finition d’une alg`bre e e II. Sous-espace vectoriel 1. D´finition e 2. L’intersection de sev est un sev III. Somme de deux sev 1. D´finition e 2. Somme directe 3. Sous-espaces suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´finition e 2. La compos´e de deux application lin´aires est une application lin´aire e e e 3. La r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e 4. Les images directes et r´ciproques d’un sev par une application lin´aire sont des sev e e 5. D´finition de Ker f et Im f . e 6. f est surjective ⇔ Im f = F et f est injective ⇔ Ker f = {0} VII. Projecteurs, Sym´tries, et Affinit´s e e 1. Projecteurs a. D´finition e b. p ∈ L(E), p ◦ p = p c. p est un projecteur ⇔ p ◦ p = p 2. Sym´tries e a. D´finition e b. S ∈ GL(E), S ◦ S = Id c. S est une sym´trie ⇔ S ◦ S = IdE e 3. Affinit´s e a. D´finition e b. f ∈ GL(E) VIII. Translations. Sous espaces affines 1. Translation d’un K-ev 2. Sous-espace affine d’un K-ev. a. D´finition e b. Intersection de deux sea c. Parall´lisme e

Questions de cours :
1. Projecteur : D´finition. Preuve de p ∈ L(E) ; que ker p = · · · et Im p = · · · ; p ◦ p = p. e 2. Sym´tries : D´finition. Preuve de S ∈ GL(E) ; que ker(S − Id) = · · · et ker(S + Id) = · · · ; S ◦ S = IdE . e e 3. Pour f ∈ L(E), f est un projecteur ⇔ f ◦ f = f . 4. Pour f ∈ L(E), f est une sym´trie ⇔ f ◦ f = IdE . e 5. Sous-espace affine ; d´finition, exemples. D´finition de la direction, du parall´lisme. e e e 6. Fonction d´rivable en a ; exemples, contre-exemples. Interpr´tation graphique. Lien avec la continuit´ ; preuve. e e e 7. Formule de Leibniz et sa d´monstration. e 8. Th´or`me de Rolle, th´or`me des accroissements finis ; sch´mas. Cas des fonctions de R dans C. e e e e e 9. In´galit´ des