M´thodes Num´riques Appliqu´es e e e 3`me Licence e

USHTB 2009–2010 G´nie des Proc´d´s e e e

Examen Final
31/5/10
NOM : PRENOM :

10:15–11:45
GROUPE : ENSEIGNANT :

Les livres et les cahiers ne sont pas autoris´s. e INSTRUCTIONS : Il y a 8 exercices pour un total de 200 points. Ecrivez votre r´ponse e finale sur la feuille de test. Si vous n’avez pas assez d’espace pour un exercice, ´crivez e sur le verso de la feuille pr´cedente. Montrez toutes les ´tapes du calcul. Encadrez votre e e r´sultat final. Supportez votre r´ponse par des explications si n´cessaire. e e e

Exercice 1 (25pts) Arithm´tique de l’ordinateur e

La formule de Heron

ci-dessous permet de calculer l’aire A d’un triangle de cˆt´s a, b, et c. Utilisez 3 chiffres oe significatifs (choisissez troncature ou arrondi et indiquez votre choix) pour d´terminer la e surface d’un triangle de cˆt´s a = 8.97, b = 5, et c = 4. Quelle est l’erreur relative si la oe valeur exacte est A = 1.63? Expliquez vos resultats. A= √ s(s − a)(s − b)(s − c) avec s= a+b+c 2

1

Exercice 2 (25pts) x + ln x = 0.

Equations non-lin´aires. S´parez les racines de l’´quation e e e

(2) Ecrivez l’it´ration de Newton pour calculer la racine x∗ ∈ [0, 1] de e

x + ln x = 0.

(3) Calculer x1 si x0 = x∗ = 0.567, 143, 3

1 . 2

V´rifiez la convergence avec le test 100 e

| x1 − x∗ | ≤ 0.1 et | x∗ |

Exercice 3 (25pts) Syst`mes lin´aires -- M´thode directe. La d´composition e e e e
LU de la matrice A est donn´e ci-dessous. Calculez la solution x du syst`me Ax = b. e e Donnez la valeur de det(A).      1 3 1 1 0 0 1 3 1      A = −1 −1 0  = −1 1 0 0 2 1  2 12 5.1 2 3 1 0 0 0.1
L U



  b =  −2  19.1

5





  b′ = −1.9 19

4.9



(b) La solution x′ du syst`me Ax = b′ est x′ = (1.4, 0.5, 2)T . Que remarquez vous? e Expliquez vos r´sultats (On donne ∥A−1 ∥∞ = 90). e

2

Exercice 4 (25pts) Syst`mes lin´aires -- M´thode it´rative. Vous e e e e
devez