Modele risque de credit

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Reda GRAOUI Stagiaire été 2011

Modèlisation des risques de crédit

Présentation synthétique de différents modèles

Reda GRAOUI

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Juillet 2011

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES

Table des matières
1 Introduction 2 Approche structurelle 2.1 Modèle de Merton (1974) . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modèles KMV (Kealhofer, McQuown et Vasicek) 2.2.1 Principe du modèle . . . . .. . . . . . . 2.2.2 KMV vu de plus près . . . . . . . . . . . 2.3 Limite du modèle KMV . . . . . . . . . . . . . . 3 Modèle à intensité 3.1 Modèle à intensité constante . . . 3.2 Estimation de λ par les donées du 3.3 Autres type d’intensité . . . . . . 3.3.1 Intensité déterministe . . . 3.3.2 Intensité stochastique . . . 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6

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2 APPROCHE STRUCTURELLE

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Introduction

Il existe trois type de modèle qui permettent de traiter le risque de crédit : les modèles à forme réduite (ou à densité), les modèles économétriques et les modèles structurels qui seront traités dans ce document. Les modèles structurels se basent sur l’approche de Merton (1974) ; l’entrepriseest en défaut si la valeur de ses actifs est inférieure à un certain seuil de ses dettes. Un des modèles structurels les plus utilisés en pratique est KMV de Moody’s.

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2.1

Approche structurelle
Modèle de Merton (1974)

Le modèle de Merton (1974) s’est inspiré du modèle développé par Black et Scholes (1973) pour valoriser les options sur actions. Les hypothèses du modèle de Merton sont :– L’entreprise est financée par une émission d’obligations (zéro-coupon à maturité T et de valeur nominale X) et une émission d’actions. – Les actions ne versent pas de dividendes. – Le taux d’intérêt sans risque est constant. – La valeur des actifs de la firme est modélisée par un brownien géométrique. Comme les valeurs des actifs ne sont pas observables, elles doivent être estimées à partir desvaleurs boursières de l’entreprise. – Le défaut est lié seulement à la date de maturité de l’obligation. Dans le modèle de Merton, la valeur VE boursière de l’entreprise est égale à celle d’une option d’achat (ou call) sur les actifs VA de la société de prix d’exercice X égal à la dette totale : VE = max(VA − X, 0). L’option d’achat est valorisée par la formule de Black et Scholes (1973). Si la valeurdes actifs est inférieure à celle de la dette à maturité T (VA,T < X), l’entreprise est en défaut et on a VE,T = 0 sinon on a VE,T = VA,T −X. La valeur de marché VA des actifs de l’entreprise au temps t est déterminée par un processus stochastique de mouvement géométrique brownien : dVA,t = µ dt + σA dWt VA,t où µ est la moyenne du rendement des actifs, σA est l’écart type du rendement desactifs, Wt est un processus de Wiener standard. La solution de l’équation différentielle est : VA,t = VA,0 expσA Wt +(µ− 2 σ
1 2 )t

La valeur VE de l’option d’achat à la maturité T est donnée par la formule de Black et Scholes : VE = VA N (d1 ) − XT exp−rT N (d2 )

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2.2 Modèles KMV (Kealhofer, McQuown et Vasicek) APPROCHE STRUCTURELLE 2

où XT est la valeur dela dette à maturité T, r est le taux d’intérêt d’un placement sans risque et N (.) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Nous savons que la variable VA suit une loi lognormale de paramètres : m = E( 1 VA,T ) = (µ − σ 2 )(T − t) VA,t 2 VA,T ) = σ 2 (T − t) VA,t

s2 = V ar(

De là, nous déduisons que la probabilité de défaut (lorsque VA,T < X) est donnée par : P...
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