Université Paris 1 - L3 Mass - Modèles mathématiques en Finance
Juin 2014
Sans documents ni calculatrices, portables éteints svp
Durée : 2 heures

Exercice 1. Il y a trois actifs financiers et la matrice des paiements s'écrit R =

 
1 2 0
1 2 2
1 0 2

a) Les marchés sont-ils complets ?
b) On suppose q1 = 1 , déterminer dans quel domaine doivent se trouver les prix q 2 , q3 et le représenter graphiquement.
Exercice 2. Soit r > 0 , il y a deux actifs financiers : un actif certain de rendement constant égal à 1 et un actif risqué qui offre les rendements 1+r avec probabilité  , et 1-r avec probabilité 1- .
Un agent muni de la fonction d'utilité de VNM u a :ℝ  ℝ , x  ua  x =ln  xa , avec a > 0 , doit investir une richesse totale égale à W > 0 . L'agent doit décider du montant de richesse  qu'il va placer en actif risqué, 0 ≤  ≤ W .
a) Montrer que l'agent est strictement averse au risque et calculer son indice d'aversion pour le risque. b) Décrire le problème de décision de l'agent sous la forme d'un programme d'optimisation. On notera a la fonction objectif.
c) Calculer le portefeuille a qui annule la dérivée de a .
d) Vérifier que a < 0 ssi  < 1/2 . Que vaut alors l'investissement optimal ? Expliquer.
e) Vérifier que a est monotone en chacun des paramètres  , a , W , r et commenter ces résultats.
f) Donner l'allure du graphe de l'investissement optimal lorsque le paramètre r décrit ℝ

Exercice 3. Soit une économie à deux périodes et trois états de la nature équiprobables en t = 1 . Il y a trois instruments financiers numérotés 0 , 1 , 2 dont la matrice des rendements contingents s'écrit
1 0 0
R =
1 4 2
1 2 4

 

a) Calculer les rendements moyens des titres 0 , 1 , 2 et la matrice de variance-covariance V relative aux titres 1 et 2 .
b) Déterminer la composition du portefeuille de marché et son rendement moyen.
c) Quels sont les bétas des titres ?
d) Calculer la variance du portefeuille de marché.
e) Déterminer la composition des portefeuilles