Module : Modélisation des problèmes économiques
Optimisation mathématique
Exercices
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Préambule
Le paradigme d’optimisation mathématique permet une modélisation adéquate d’un bon nombre de problèmes physiques ou économiques, en conséquence, une étude systématique du problème qui peut aboutir à une solution complète. Dans cette UE, nous nous sommes occupé des cas particuliers d’optimisation d’une fonction linéaire face à des contraintes linéaires. L’algorithme du simplexe permet de calculer efficacement la solution optimale. Mieux encore, des techniques complémentaires en programmation linéaire rendent possible une étude approfondie de la sensibilité de la solution trouvée face aux problèmes possibles.
Dans le cas général des problèmes modélisés, suivant leur complexité de résolution, ceux-ci peuvent être divisés en deux catégories : Celle des problèmes faciles et celle de problèmes difficiles. Un problème de programmation linéaire fait partie de la première catégorie. La mise en équation d’un problème d’optimisation peut aussi poser des difficultés supplémentaires. En effet, le problème initial est décrit en langage usuel et sa mathématisation sous une forme simple peut s’avérer ardue.
L’objectif de cette étude n’est pas d’aborder ces difficultés dans leurs généralités, pour lesquelles il n’existe pas de recette universelle, mais de faciliter quelques exemples isotypes. Les exemples suivants sont choisis parmi les plus simples et ont pour but de donner quelque entraînement au lecteur. Ils sont empruntés aux ouvrages suivants :
1. Roseaux, « Exercices et Problèmes Résolus de Recherche opérationnelle », Tome 3, Masson 1985.
2. M. Sakarovitch, « Optimisation Combinatoire, Graphes et Programmation Linéaires », Hermann, 1984.
Exemple 1 : Problème de Production
1. Une usine fabrique deux produits P1 et P2.
Chacun de ces produits demande, pour son usinage, des heures de fabrication unitaires sur les machines (ou dans