Rapport de stage 2A
Thème : modélisation mathématique
D’une tumeur en stade avasculaire Stagiaire : Zaghloul Latifa
Encadrant : Rajaa Aboulaich
Tuteur école : Jacques Liandrat
Période : 01/06/2014—30/08/2014

Table des mati` eres 1 Aspect biologique
1.1 Qu’est-ce que le cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Division cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Premi`ere phase de la croissance tumorale : phase avasculaire . . .
1.4 Deuxi`eme phase de la croissance tumorale : phase vasculaire . . .
1.5 Derni`ere phase de la croissance tumorale : Invasion m´etastatique
2 Mod` ele math´ ematique 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Description du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mod´elisation de la croissance tumorale . . . . . .
2.3 Formulation du probl`eme d’optimisation . . . . . . . . .
2.3.1 Calcul du lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 D´eriv´ee de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Param´etrisation des formes par la m´ethode des lignes de
2.5 Impl´ementation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Algorithme d’optimisation . . . . . . . . . . . . .
2.6 R´esolution des syst`emes direct et adjoint . . . . . . . . .
2.6.1 algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Sch´emas num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Algorithme globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . niveaux . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

4
4
4
6
8
9
10
10
11
11
13
14
15
18
19
19
21
21
21
23

3 R´ esultats num´ eriques 25
3.1 Tests primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Valeurs num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

25 aoˆ ut 2014

Mots-clefs : math´ematiques appliqu´ees, cancer, croissance tumorale, simulation num´erique, optimistaion de forme, m´ethode de lignes de niveau.

R´ esum´ e
Le