SUP MPSI
COLLES DE MATHEMATIQUES
Programme de la semaine 12 Chapitre 09 : Eléments de logique et de théorie des ensembles I. Eléments de logique 1. Connecteurs logiques 2. Implication et équivalence 3. Règles de négation II. Méthodes de démonstration 1. Par implication 2. Par disjonction de cas 3. Par contraposition 4. Par l’absurde III. Notations et vocabulaire sur les ensembles 1. Appartenance : définition en extension et en compréhension d’un ensemble. Définitions de ∈, singleton et ensemble vide ∅ ou { }. 2. Quantificateurs : définitions de ∀, ∃ et ∃ !. Règles de négation. 3. Inclusion : définition de E ⊂ F. ∅ ⊂ E. E ⊂ F et F ⊂ E ⇐⇒ E = F. Définition d’ensembles distincts. Définition de l’ensemble des parties de E noté P(E). 4. Intersection et union : définitions et commutativité de A ∩ B et A ∪ B. Distributivité de l’un par rapport à l’autre. Définition d’ensembles disjoints. 5. Complémentaire et différence : définition de A − B et AC . C Relations : AC = A, (A ∪ B)C = AC ∩ BC , A ∩ AC = ∅, (A ∩ B)C = AC ∪ BC , ∅C = E, A ∪ AC = E et A − B = A ∩ BC . 6. Produit cartésien : définitions de E × F, E1 × E2 × · · · × En et de E n .

IV. Notion de fonction 1. Généralités : définition d’une fonction et vocabulaire associée (ensembles de définition et d’arrivée, graphe, image et antécédent). Définition de l’application identité sur E notée IE . 2. Familles : Définition d’une famille d’éléments de E indexée par un ensemble I, ensemble E I . Extension au cas des suites sur E, notées E N . Définitions de Ai et Ai . i∈I i∈I

3. Restriction et prolongement : définition de la restriction de f : E → F à E ⊂ E notée f| E . Définition d’un prolongement. Exemples.

4. Composition : définition de la composée de f par g notée g ◦ f . Associativité et non commutativité (contreexemple sur ).

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5. Injection, surjection et bijection : définitions et négations des trois notions. exp : → ∗ est surjective de dans ∗ et non injective sur . f est bijective de E dans F ssi il existe g : F → E