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COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e

Les int´grales e
Propri´t´s e e
Ce cours porte exclusivement sur les propri´t´s relatives a l’int´gration ee ` e des fonctions r´elles. e

1

L’id´e g´n´rale e e e

L’int´grale d’une fonction correspond a l’aire d´limit´e par sa courbe e ` e e repr´sentative, l’axe des abscisses, et deux bornes (deux abscisses). e Sipar exemple calculer la distance parcourue par un v´hicule qui roule a e ` vitesse constante est simple, calculer la distance parcourue par un v´hicule e qui roule a vitesse variable s’av`re moins ´vident et n´cessite de recourir au ` e e e calcul int´gral. e

1

2
2.1

La th´orie e
L’existence

Soient a et b deux r´els. e Toute fonction continue sur l’intervalle [a; b] admet uneint´grale sur cet ine tervalle.

2.2

Les propri´t´s e e

Soient f et g deux fonctions r´elles d´finies et continues sur un intervalle e e I. Soient a, b et c trois r´els de I. e Les propri´t´s relatives a l’int´gration des fonctions r´elles sont rassembl´es ee ` e e e dans la liste suivante : – la nullit´ e
a

f (x)dx = 0
a

– l’oppos´e e
b a a

f (x)dx = −

f (x)dx
b

– la relationde Chasles
b c c

f (x)dx +
a b

f (x)dx =
a

f (x)dx

2

– la somme
b b b

[f (x) + g(x)]dx =
a a

f (x)dx +
a

g(x)dx

– la constante ind´pendante e
b b

soit k une constante,
a

kf (x)dx = k
a

f (x)dx

– la comparaison
b b

lorsque f (x) ≤ g(x) sur [a; b],

a

f (x)dx ≤

g(x)dx
a

3

Attention !
Avant de calculer l’int´grale d’une fonction, ilfaut absolument : e – d´terminer son ensemble de d´finition ; e e – v´rifier que la fonction consid´r´e est continue sur cet intervalle ; e ee – v´rifier que les bornes de l’int´grale appartiennent a cet intervalle. e e `

3

4
4.1

Exercices pratiques
Exercice 1

Soit f une fonction d´finie et continue sur [a; b]. Soient α et β deux r´els e e de l’intervalle [a; b]. D´terminer la sommedes int´grales suivantes e e
α b a β β

f (t)dt + 2 .
β β

f (x)dx −

f (w)dw +
α b

f (t)dt + 2
α

f (p)dp

Ici, nul n’est besoin de s’int´resser a l’ensemble de d´finition et a la contie ` e ` nuit´ des int´grales puisque la fonction f est d´finie et continue sur [a; b]. e e e Soit ξ cette somme d’int´grales. e
α b a β β

ξ=
β

f (t)dt + 2
β α

f (x)dx −
b β

f (w)dw +
αa b β

f (t)dt + 2
α β

f (p)dp f (t)dt
α β

ξ=
β

f (t)dt + 2
β

f (t)dt −
b

f (t)dt +
α α b

f (t)dt + 2
b

ξ=− ξ=
a

f (t)dt + 2
α α β β

f (t)dt +
a β

f (t)dt − f (t)dt + 2

f (t)dt + 2
β b β b α b

f (t)dt f (t)dt
β

f (t)dt + 2
α α

f (t)dt − f (t)dt +

α β

f (t)dt −

ξ=
a

f (t)dt +
α β b

f (t)dt

β

ξ=
a

f (t)dt +
β bf (t)dt

ξ=
a

f (t)dt 4

4.2

Exercice 2

D´terminer l’int´grale de la fonction f : x → 2220x + 2341ex entre x = 2 e e et x = 3. Soit ξ cette int´grale. e Avant de calculer l’int´grale, il faut s’occuper de l’ensemble de d´finition et e e de la continuit´ de la fonction f . f est d´finie et continue sur R (voir les e e cours “Les fonctions r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition”e e et “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f admet des int´grales. De plus, e e e e e les bornes x = 2 et x = 3 appartiennent a R, donc ξ existe. `
3

ξ=
3 2

f (t)dt

ξ=
2

2220t + 2341et dt

Pour ´viter d’effectuer des calculs inutilement compliqu´s, appliquer la proe e pri´t´ de la constante ind´pendante permet d’´crire : ee e e
3 3

ξ = 2220
2

tdt + 2341
3 2

et dtt2 ξ = 2220 + 2341[et ]3 2 2 2 9 4 + 2341(e3 − e2 ) ξ = 2220 − 2 2 ξ = 1110(9 − 4) + 2341(e3 − e2 ) ξ = 5550 + 2341(e3 − e2 ) L’int´grale de la fonction f entre x = 2 et x = 3 est ξ = 5550 + 2341(e3 − e2 ). e 5

4.3

Exercice 3

1 1 1 e ≤ ≤ √ , d´terminer au moyen 2 x x x du calcul int´gral un encadrement de ln(2). e Sachant que pour tout r´el x > 1, e ln(2) = ln(2) − ln(1) ln(2) =...
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