Filières d’ingénieur: I.M.I.A.E & G.E.

2009-2010

ÉLEMENTS DE THEORIE DES GRAPHES QUELQUES EXERCICES D’APPLICATION

Le but principal de cette série d’exercices est de servir de « source d’inspiration ».

1. NOTIONS DE BASE
1.1. Modélisation Exercice 1. Construire un graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 et dont les arcs représentent la relation « être diviseur de ». Exercice 2. Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d’un fleuve ; un passeur souhaite les transporter sur l’autre rive mais, sa barque étant trop petite, il ne peut transporter qu’un seul d’entre eux à la fois. Comment doit-il procéder afin de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loup et la chèvre, ainsi que la chèvre et le chou ? Exercice 3. Trois maris jaloux et leurs épouses souhaitent traverser une rivière. Ils disposent d’une barque qui ne peut transporter plus de deux personnes à la fois. Comment doivent-ils procéder, sachant qu’aucune femme ne doit rester en compagnie d’un ou deux hommes sans que son mari soit présent ? Montrez que ce problème n’a pas de solution si les couples sont au nombre de 4. Exercice 4. On souhaite prélever 4 litres de liquide dans un tonneau. Pour cela, nous avons à notre disposition deux récipients (non gradués !), l’un de 5 litres, l’autre de 3 litres... Comment doit-on faire ? Exercice 5. (Jeu de Fan Tan) Deux joueurs disposent de 2 ou plusieurs tas d’allumettes. A tour de rôle, chaque joueur peut enlever un certain nombre d’allumettes de l’un des tas (selon la règle choisie). Le joueur qui retire la dernière allumette perd la partie. ♦ Modéliser ce jeu à l’aide d’un graphe dans le cas où l’on dispose au départ de deux tas contenant chacun trois allumettes, et où un joueur peut enlever une ou deux allumettes à chaque fois. ♦ Que doit jouer le premier joueur pour gagner la partie à coup sûr ? ♦ Mêmes questions avec 3 tas de 3 allumettes. Exercice 6. Essayez d’exprimer (et non nécessairement de