Sujet 2a

UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE UFR DE SCIENCE ÉCONOMIQUE ET DE GESTION

Mémoire

MATHÉMATIQUES DE L'ÉCONOMIE Comptabilité Nationale

LICENCE D’ÉCONOMIE ET DE GESTION

Travaux Dirigés L2/S4 Année 2009/2010

Concepts mathématiques

Matrice :
On entend par matrice de format m x n à coefficients réels toute application :

A : {1,2, …, m} x {1,2,…, n} → R

Une matrice est donc une application dont le domaine de définition est très particulier. Pour cette raison et aussi pour des raisons de commodité d’écriture, on note aij l’image du couple i,j. et on dispose les mn nombres réels aij, i = 1,2,…m, j = 1,2,…,n sous forme d’un tableau :

A = a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮am1⋮am2⋱⋯⋮amn

À m lignes et n colonnes. On observera que les valeurs de A (appelées aussi coefficients de A), sont notées avec deux indices, le premier indice i faisant référence au numéro de ligne et le second indice j au numéro de colonne de la matrice. Si la matrice est carrée, c'est-à-dire si m = n, on dit simplement que la matrice est d’ordre n.

Addition de matrices :
Soit A et B deux matrices de même format m x n, alors :

A + B = a11+ b11a12+ b12⋯a1n+ b1na21+ b21⋯a22+ b22⋯⋯⋯a2n+ b2n⋯am1+ bm1am2+ bm2⋯amn+ bmn

Produit matriciel :
Si A est une matrice de format m x n et B une matrice de format n x p, on définit le produit de A par B comme étant la matrice C de format m x p dont le coefficient cij sur la ième ligne et la jème colonne est donné par : cij∶=k=1n aik . bkj

Propriété du produit matriciel :
Si A, B et C désignent trois matrices, sous réserve de comptabilité entre leurs formats, on a les relations suivantes : 1. A (BC) = (AB) C 2. A (B+C)=AB+AC 3. (A+B)C=AC+BC

Transposée d’une matrice :
Soit A une matrice de format m x n. On appelle transposée de A la matrice de format n x m, notée AT et définie par : aijT∶= aji 1≤i≤n,