L'objectif de ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser des algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus.

Fractions irréductibles - définition

Définition :

Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple 1 :

12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux.

Donc 12/35 et 35/12 sont irréductibles.

Exemple 2 :

12 et 8 ne sont pas deux nombres premiers entre eux.

Donc 12/8 et 8/12 ne sont pas irréductibles.

Algorithme d'Euclide : méthode

1) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
2) On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à zéro.
3) Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.

Diviseurs et multiples

Définitions :
Pour deux nombres entiers n et d non nuls, d est un diviseur de n signifie qu’il existe un nombre entier q tel que n = q × d.
On dit aussi que n est divisible par d ou que n est un multiple de d.

Remarque :
Si d est un diviseur de n alors le reste de la division euclidienne de n par d est égal à zéro.

Exemples :
7 est un diviseur de 91 car 91 = 7 × 13.
De même, 13 est un diviseur de 91.

Remarque importante :
1 est un diviseur de tout nombre