Pondichéry 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
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Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, → u,→ v .
On note i le nombre complexe tel que i2 = −1.
On considère le point A d’affixe ZA = 1 et le point B d’affixe ZB = i.
A tout point M d’affixe ZM = x + iy, avec x et y deux réels tels que y ̸= 0, on associe le point M ′ d’affixe ZM ′ = −iZM .
On désigne par I le milieu du segment [AM].
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle
OAM est aussi une hauteur du triangle OBM ′ (propriété 1) et que BM ′ = 2OI (propriété 2). π 1) Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend ZM = 2e−i 3 .
a) Déterminer la forme algébrique de ZM .
√
b) Montrer que ZM ′ = − 3 − i. Déterminer le module et un argument de ZM ′ .
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c) Placer les points A, B, M, M ′ et I dans le repère O, → u,→ v en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
2) On revient au cas général en prenant ZM = x + iy avec y ̸= 0.
a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.

b) Déterminer l’affixe du point M ′ en fonction de x et y.
c) Écrire les coordonnées des points I, B et M ′ .
d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM ′ .
e) Montrer que BM ′ = 2OI.

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c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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