Exprimé dans la langue naturelle, le déterminisme appliqué à un système physique peut se formuler ainsi : l’état du système à un instant donné dépend de son état à l’instant antérieur et des actions qui s’exercent sur lui.
L’expression mathématique de ce déterminisme, dans le cadre du programme de terminale S, c’est l’ensemble constitué par une équation d’évolution, c’est-à-dire une équation différentielle, et des conditions initiales.
Ces notions sont nouvelles pour les élèves, de même que la notion d’état. En réalité, comme on va le voir, c’est le cadre théorique dans lequel on travaille qui détermine ce qu’est un état.
Cette mise en place du déterminisme date de l’élaboration des lois de la mécanique par Newton. Elle se généralise à d’autres évolutions temporelles (systèmes électriques, décroissances radioactives).
La méthode d’Euler est, dans son principe, une méthode générale de résolution d’équations différentielles. Elle constitue un outil particulièrement intéressant pour concrétiser les différentes notions en jeu et leur donner du sens. En outre, c’est la méthode la plus simple pour obtenir une solution approchée de l’équation d’évolution, pour laquelle il n’existe en général pas de solution analytique, c’est-à-dire s’exprimant à l’aide de fonctions simples. La qualité de l’approximation doit évidemment être discutée à chaque fois.

Le principe de la méthode consiste à travailler avec des différences finies.
Ainsi, dans le cas de l’équation de la dynamique appliquée à un objet de masse M, de taille négligeable, se déplaçant sur une droite x’x et soumis à une force portée par cette droite on écrit: fx = Max

où fx est une fonction connue de la coordonnée x et ax désigne la dérivée de la vitesse : ax = dvx/dt.

La méthode d’Euler, appliquée à ce problème, consiste à remplacer cette équation par le couple d’équations dite « aux différences finies » :

fx = Mvx/t vx = x/t

où l’intervalle de temps t est « petit » en un sens qu’il