ISAE-N6K/Premi`re ann´e e e

Repr´sentation et analyse e des syst`mes lin´aires e e
Petite classe No 6

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1.1

Compl´ments sur l’analyse fr´quentielle des syst`mes e e e boucl´s e
Stabilit´ relative et marges de stabilit´ e e

Dans l’analyse qualitative que l’on peut faire d’un syst`me boucl´, la stabilit´ absolue telle e e e qu’elle peut ˆtre attest´e par le crit`re de Nyquist n’est pas l’unique indice pertinent. La mani`re e e e e dont un syst`me est stable est ´galement primordiale et conduit a l’´tude de la stabilit´ e e ` e e e e e e relative du syst`me boucl´. Dans le domaine temporel, cette notion est reli´e aux param`tres tels que le d´passement maximal et l’amortissement. Dans le domaine fr´quentiel, le pic de e e e ` e r´sonnance Mr peut ´galement servir a cet effet. Un autre moyen de mesurer le degr´ de e stabilit´ relative dans le domaine fr´quentiel consiste ` mesurer la distance du lieu de transfert e e a en boucle ouverte au point critique d´fini comme le point d’affixe (−1, j0) dans le plan de e Nyquist. Cette distance peut ˆtre mesur´e dans deux directions diff´rentes donnant lieu ` la e e e a d´finition de la marge de phase et de la marge de gain. e 1.1.1 Marge de phase et marge de gain

D´f. 1.1 (marge de phase) La marge de phase est d´finie par : e e MΦ = Φ(ωco ) + 180o (1)

o` ωco est la pulsation de coupure a 0 dB, (gain-crossover frequency), de la fonction de transfert u ` en boucle ouverte : (2) L(jωco ) = 0 dB D´f. 1.2 (marge de gain) La marge de gain se d´finit par : e e Kg = 1 |L(jω180o )| Kg dB = −20Log10 |G(jω−180o )| (3)

o` ω−180o est la pulsation pour laquelle la phase de la boucle ouverte vaut −180o , (phaseu crossover frequency). (4) Arg[L(jω−180o )] = −180o Remarques 1.1 Pour un syst`me ` minimum de phase, cela indique de combien le gain peut e a ˆtre augment´ avant de devenir instable. La marge de phase et de gain mesurent la distance du e e lieu de Nyquist au point critique −1.

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Ces indicateurs sont repr´sent´s