Exercice 4 :
1.

a. u1 =

5 points
3× 1
3 × u0
3
2
=
=
1
1 + 2u0 1 + 2 2
4

et u2 =

3
3× 4
3 × u1
9
=
.
=
3
1 + 2u1 1 + 2 4 10

b. – Pour tout entier naturel n, notons P n la proposition : 0 < un .
– Initialisation : Si n = 0
1
Alors u0 = > 0, donc P 0 est vraie.
2
– Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel k tel que P k soit vraie (cà d 0 < uk ). Montrons que
P k+1 est vraie aussi( cà d 0 < uk+1 ).
Par hypothèse de récurrence 0 < uk donc 0 < 3uk et 0 < 1 + 2uk .Ainsi, uk+1 est le quotient de deux nombres strictement positifs, donc 0 < uk+1 et P k+1 est vraie.
– P P 0 est vraie et P n est héréditaire, par récurrence on a bien pour tout entier naturel n, 0 < un .
2.

a. Comme pour tout entier naturel n, 0 < un , pour étudier les variations de la suite, on peut comparer un+1 et 1. un 3un un+1 3
1 + 2un
=
= un un
1 + 2un
3
Mais, un < 1 ⇔ 2un < 2 ⇔ 1 + 2un < 3 ⇔ 1 < car 1 + 2un > 0.
1 + 2un
Finalement la suite (un ) est croissante.
b. La suite (un ) est croissante et majorée par 1 ; elle converge donc vers ℓ ≤ 1.

3.

a. Pour tout entier naturel n,
3un
3un un+1 3un
1 + 2un
1 + 2un
=
= 3v n v n+1 =
=
=
1 + 2un − 3un
3un
1 − un+1
1 − un
1−
1 + 2un
1 + 2un
La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison 3.
b. Pour tout entier naturel n, v n = v 0 q n = 3n .
c. Pour tout entier naturel n, un vn
3n
vn =
⇔ (1 − un )v n = un ⇔ v n = un + un v n ⇔ un =
⇔ un = n
.
1 − un
1 + vn
3 +1
d. Comme 3 > 1, lim 3n = +∞. L’étude du quotient conduit donc à une forme indéterminée. n→+∞ 3n
=
un = n
3 +1

1

1
=
1
1 n
1+ n
1+
3
3
1 n
1
Comme −1 < < 1, lim
=0
n→+∞ 3
3
n
1
Par somme lim 1 +
= 1, enfin, par quotient lim un = 1 n→+∞ n→+∞
3
La suite (un ) converge vers 1.