Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 1ère année - Joël Gaden Chapitre 1 - FONCTIONS A UNE VARIABLE
Part I

Rappels nécessaires hors amphi
1
1.1

Fonctions usuelles
Fonction logarithme népérien.
La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) =
′

1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x)
′ ′

Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞

1.2

Fonction exponentielle népérienne.
La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice en repère orthonormal. ea e a+b = e a ∗e b (e a ) b = e ab = e a−b eb 1 = e−a e0 = 1 e1 = e = 2.718 ea ln x qqs le r´el x > 0 e x = ln (e x) qqs le r´el x e Formules (srce): x = e Dérivée: (e x ) = e x > 0 ′ ′ [e u(x) ] = u (x) ∗ e u(x) srce 1
′

Limites:

lim− ∞ e x = 0+ lim+ ∞ e x = +∞

1.3

Fonction puissance
Définition: La fonction puissance f est définie par f (x) = x α = e α pour tout x réel positif non nul et tout réel quelconque α. x α ∗y α = (xy) α (x α ) β = x α∗β x α ∗x β = x α+β xα x =( )α α y y ln x

xα = x α−β β x 1 p 1 α p q q q p si α ∈ Q soit p ∈ Z et q ∈ N Formules (srce): x = x = (x ) = (x ) Dérivée: (x α ) = α ∗ xα−1 est de même signe que α
′

∗

Limites: lim 0+ x α = 0 si α > 0 lim 0+ x α = 1 si α = 0 lim 0+ x α = +∞ si α < 0 lim +∞ x α = +∞ si α > 0 lim +∞ x α = 1 si α = 0 lim +∞ x α = 0+ si α < 0

1.4

Fonction exponentielle de base a > 0.
Définition: La fonction est définie sur R par f (x) = a strictement positif Dérivée: la fonction exponentielle de base a est définie, continue et dérivable sur R avec: f ′ (x) = ( a x )′ = (ex ln a ′ x

= e

x