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Mathématiques appliquées aux S.E.S. Licence 1ère année - Joël Gaden Chapitre 1 - FONCTIONS A UNE VARIABLE
Part I

Rappels nécessaires hors amphi
1
1.1

Fonctions usuelles
Fonction logarithme népérien.
La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− lna = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) =


1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x)
′ ′

Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞

1.2

Fonction exponentielle népérienne.
La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle est la bijection réciproque de la fonctionlogarithme népérien. Leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice en repère orthonormal. ea e a+b = e a ∗e b (e a ) b = e ab = e a−b eb 1 = e−a e0 = 1 e1 = e = 2.718 ea ln x qqs le r´el x > 0 e x = ln (e x) qqs le r´el x e Formules (srce): x = e Dérivée: (e x ) = e x > 0 ′ ′ [e u(x) ] = u (x) ∗ e u(x) srce 1


Limites:

lim− ∞ e x = 0+ lim+ ∞ e x = +∞

1.3Fonction puissance
Définition: La fonction puissance f est définie par f (x) = x α = e α pour tout x réel positif non nul et tout réel quelconque α. x α ∗y α = (xy) α (x α ) β = x α∗β x α ∗x β = x α+β xα x =( )α α y y
ln x

xα = x α−β β x 1 p 1 α p q q q p si α ∈ Q soit p ∈ Z et q ∈ N Formules (srce): x = x = (x ) = (x ) Dérivée: (x α ) = α ∗ xα−1 est de même signe que α




Limites: lim 0+ xα = 0 si α > 0 lim 0+ x α = 1 si α = 0 lim 0+ x α = +∞ si α < 0 lim +∞ x α = +∞ si α > 0 lim +∞ x α = 1 si α = 0 lim +∞ x α = 0+ si α < 0

1.4

Fonction exponentielle de base a > 0.
Définition: La fonction est définie sur R par f (x) = a strictement positif Dérivée: la fonction exponentielle de base a est définie, continue et dérivable sur R avec: f ′ (x) = ( a x )′ = (ex
ln a ′ x

= e

xln a

> 0 seulement si a est

) = ln a ∗ ex

ln a

= ax ∗ ln a

1.5

Croissances comparées des fonctions puissance, logarithme népérien, exponentielle népérienne.
Si x tend vers + ∞ alors x α avec α > 0, l’infini.
∗ ln x et e x sont croissantes sur R+ et tendent vers

ln x x − x0 Cette limite est appelée ”dérivée de f en x0 ” et notée: f ′ (x0 ) = lim
x→x0

f(x) − f (x0 ) x − x02.2

Remarque 1
La continuité d’une fonction en un point est une condition nécessaire d’existence pour la dérivabilité de cette fonction en ce point.

2.3

Remarque 2
La dérivabilité d’une fonction en un point entraine obligatoirement la continuité de cette fonction en ce point.

2.4

Exemple
Soit la fonction f de R dans R définie par f(x) = x2 − 3x + 1. * Etudions la dérivabilitéde cette fonction en x0 = 4 f(x0 ) = f(4) = (4)2 −3(4) + 1 = 5 lim

lim f (x) − f (4) x2 − 3x + 1 − 5 x2 − 3x − 4 x→4(x2 −3x−4) = lim = lim = lim (x−4) x→4 x→4 x→4 x−4 x−4 x−4 x→4 2 or lim (x − 3x − 4) = 16 − 12 − 4 = 0 x→4

et lim (x − 4) = 0
x→4

Il y a donc une forme indéterminée 0 . 0 * Levons l’indétermination. Factorisons: alors x2 −3x − 4 = (x + 1) (x − 4)

4

f (x) − f (4) (x +1) (x − 4) = lim = lim (x + 1) car x tend vers 4 mais n’ait x→4 x→4 x→4 x−4 x−4 pas égal à 4... lim alors f (x) − f (4) lim =5 x→4 x−4 Remarquons alors que 5 est le nombre dérivé en 4 de f noté f ′ (4). Nous pourrons le calculer directement par la fonction dérivée f’. En effet: puis f ′ (4) = 2 × 4 − 3 = 8 − 3 = 5 f(x) = x2 −3x + 1 ⇒ f ′ (x) = 2x − 3

3
3.1

Tangente en un point de lareprésentation graphique
Définition
Le nombre dérivé de la fonction f au point M0 d’abscisse x0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en ce point. Une équation de cette tangente est: y = f (x0 ) + f ′ (x0 ) × (x − x0 )

3.2

Exemple
Reprenons l’exemple précédent. L’équation de la tangente à la courbe de f en 4 est : y = f(4) + f ′ (4) × (x − 4) ⇔ y = 5 + 5x − 20 ⇔ y = 5 + 5(x...
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