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UTM-ISMAG M1

MIMA40 C.Hassenforder

Chapitre 4 TRANSFORMATION DE FOURIER
Sous des hypoth`ses assez g´n´rales, la transformation de Fourier permet d’exprimer une e e e fonction comme superposition “continue” d’exponentielles complexes e2iπνx ν∈IR g´n´ralisant e e ainsi l’expression en s´rie de Fourier d’une fonction p´riodique. La transformation de Fourier e e sera d´finie pour les fonctionsde L1 (IR), puis de S(IR) et enfin par prolongement de cet espace e a ` L2(IR), qui repr´sente l’espace des signaux d’´nergie finie. Pour ses propri´t´s remarquables, e e e e la transform´e de Fourier est un outil incontournable en th´orie du signal et dans bien d’autres e e domaines : probabilit´s, ´quations aux d´riv´es partielles,... e e e e 4.1 Transformation de Fourier dans L1 (IR) ` D´finition.A toute fonction f de L1(IR), on associe sa Transform´e de Fourier F (f ), e e ˆ e not´e aussi f d´finie par : e ˆ F (f )(ν) = f (ν) = IR Remarques : 1) Certains auteurs, sp´cialistes de la th´orie du signal, d´finissent une transe e e form´e de Fourier ´quivalente ` celle-ci en fonction de la pulsation ω = 2πν : e e a F (f )(ω) = IR ˆ 2) Si f est paire, f (ν) = 2
0 +∞

e−2iπνx f (x) dx.e−iωx f (x) dx.

f (x) cos(2πνx) dx ;
+∞

ˆ 3) Si f est impaire, f (ν) = −2i
0

f (x) sin(2πνx) dx.

Exemple : Soit f la “fonction porte” ´gale ` 1 si x ∈ [−c, c] et 0 sinon. Montrer que e a sin(2πcν) ˆ f (ν) = . πν

Exemple : Soit gN la fonction “sinus tronqu´e” d´finie par sin(2πν0t) si t ∈ [−N, N ] et 0 e e sinon. Alors sin 2πN (ν0 + ν) sin 2πN (ν0 − ν) gN (ν) = i ˆ − 2π(ν0 + ν) 2π(ν0 − ν)Le graphe de la partie imaginaire de gN poss`de 2 pics au voisinage de ν0 et −ν0 . Si N tend ˆ e vers +∞, gN se r´duit ` 2 pics d’ordonn´es respectives −N et N et d’abscisses ν0 et −ν0 . ˆ e a e ˆ Th´or`me. Pour toute f ∈ L1 , f est born´e, continue et tend vers 0 quand ν tend vers e e e ˆ ∈ C0 . ±∞. On ´crit f e

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Chapitre 4

Transformation de Fourier

Preuve. La fonction ν → e−2iπνxf(x) est continue et de module major´ par |f| ; donc, par applie cation du th´or`me de convergence domin´e de Lebesgue de continuit´ d’une int´grale param´tr´e, f est e e e e e e e ˆ ˆ ˆ est born´e. continue. De plus, |f(ν)| ≤ f 1 donc f e La convergence vers 0 quand ν → ±∞ est une cons´quence du th´or`me de Riemann-Lebesgue. e e e

ˆ Th´or`me. [Formule de Plancherel] Si f, g ∈ L1, alors f.ˆ etf .g ∈ L1 et e e g f (t).ˆ(t) dt = g ˆ f (t).g(t) dt.

ˆ Preuve. g born´e donc f.ˆ ∈ L1 , mˆme chose pour f .g. En utilisant Fubini, on a ˆ e g e

f(t).ˆ(t) dt = g = =

f(t) g(x)

e−2iπts g(s) ds e−2iπuxf(u) du

dt dx

ˆ f(x).g(x) dx

Th´or`me. F (f (−t))(ν) = F (f )(−ν). e e
−∞ +∞

Preuve.

e−2iπνxf(−x) dx = −
+∞

e2iπνxf(x) dx =
−∞

ˆ e−2iπ(−ν)xf(x) dx = f (−ν).

ˆTh´or`me. [Propri´t´ du d´calage] F (f (t − a))(ν) = e−2iπνa f (ν). e e ee e

Preuve. En posant x = t − a, on a

e−2iπνtf(t − a) dt =

ˆ e−2iπν(x+a) f(x) dx = e−2iπνaf (ν).

ˆ Th´or`me. [Propri´t´ de la modulation] f (ν − ν0 ) = F (exp(2iπν0t).f (t))(ν). e e ee

ˆ Preuve. f(ν − ν0 ) =

e−2iπ(ν−ν0 )tf(t) dt =

e−2iπνte2iπν0 tf(t) dt = F(e2iπν0 t f(t))(ν).

Th´or`me. [Propri´t´s duchangement d’´chelle] e e ee e Si |a| > 1, le changement d’´chelle, qui ` f (t) associe f (at), est dit concentration. e a Si |a| < 1, le changement d’´chelle est dit dilatation. On a dans les deux cas : e F (f (at))(ν) = 1 ˆ ν f |a| a

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Preuve. Avec x = at, F(f(at))(ν) =

e−2iπνtf(at) dt =

e−2iπ

νx a

f(x)

dx . |a|

D´finition. Latransform´e de Fourier inverse F −1(g) de g dans L1 est d´finie par : e e e F −1(g)(x) = e2iπνx g(ν) dν.

Th´or`me. [Transform´e inverse de Fourier] Si f , F (f ) et F −1(f ) sont dans L1 , alors e e e f = F −1(F (f )) = F (F −1(f )). Autrement dit :
p.p. p.p.

f (x) =

p.p.

ˆ e2iπνx f (ν) dν.

Si de plus f est continue, les ´galit´s pr´c´dentes sont vraies partout. e e e e

Preuve. Non...
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