Nice
Parabole
Soit f la fonction définie sur par f x x2 4 x 1 . 1. Étudier le signe de ce trinôme. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique que l’on notera (P) à l’aide de GeoGebra. 3. Pour tout nombre m réel, on considère la droite Dm d’équation y 2 x m . a. Construire cette droite sur la figure précédente de telle sorte que l’on puisse faire varier le réel m. b. Déterminer graphiquement le nombre de point d’intersection de Dm et de (P) suivant les valeurs de m. 4. Discuter par le calcul le nombre de points d’intersection de Dm et de (P). 5. Donner les coordonnées du point d’intersection dans le cas où il est unique. 6. Lorsque Dm coupe (P) en deux points distincts Am et Bm , on appelle Im le milieu de Am ; Bm . Soit E l’ensemble des point Im quand m parcourt tout entier. a. Quelle semble être la nature de l’ensemble E ? b. Démontrer la conjecture précédente.
Première S TP informatique
1
F. Laroche
1-2 :
Second degré et optimisation
On considère un point M sur le diamètre AB d’un cercle. Il détermine deux cercles de diamètre AM et MB . On pose AB 4 et AM x . Soit A x l’aire de la surface non colorée.
A
M
B
1. Réaliser une figure à l’aide du logiciel GeoGebra. 2. Conjectures : a. Quelle est la position du point M pour laquelle A x est maximale ? b. Existe-t-il une position de M pour laquelle A x soit strictement supérieure à la somme des aires des deux disques de diamètre AM et MB ? c. Quelles sont les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A x est-elle inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètre AM et MB ? 3. Montrer que l’aire A x est définie par : A x 4. Démontrer la conjecture de la question 2. a. 5. Justifier la conjecture de la question 2. b. 6. Déterminer les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A x estt inférieure à la moitié de