Correction du N° 63 p 71
1. La courbe a pour équation, 𝑦 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 ! + 𝑐𝑥 + 𝑑, elle représente donc la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 ! + 𝑐𝑥 + 𝑑.
Il faut déterminer a, b, c et d pour connaître cette fonction.
On peut donc prévoir que le texte donnera 4 renseignements.
Premier renseignement et deuxième renseignement:
La courbe est tangente à la droite d’équation y = -1 au point A d’abscisse 0, cette droite est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est 0 et le point A est sur cette droite donc son ordonnée est -1. f(0) = -1 donc d = -1
Or la tangente à la courbe au point A(0 ;-1) a pour coefficient directeur la valeur du nombre dérivé en ce point donc f ’(0) = 0 de plus f’(x) = 3𝑎𝑥 ! + 2𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 donc 𝑓 ! 0 = 𝑐.
On en déduit que c = 0
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 − 𝟏 𝐞𝐭 𝒇! 𝒙 = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙.
Troisième renseignement :
!
La courbe admet au point B d’abscisse ! donc d’ordonnée 𝑓 donc de coefficient directeur 0, donc 𝑓 !
!

!
!

!
!

une tangente horizontale

= 0 donc

2
2
4
4
+ 2𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑏 = −𝑎
3
3
3
3
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 −𝟏 𝐞𝐭 𝒇! 𝒙 = 𝟑𝒂𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙
3𝑎

Quatrième renseignement :
La courbe admet au point C d’abscisse 1 donc d’ordonnée f(1) une tangente parallèle à la droite d’équation y = x + 3 donc de coefficient directeur 1, donc f’(1) = 1
Or 𝑓 ! 1 = 1 ⟺ 3𝑎 − 2𝑎 = 1 ⟺ 𝑎 = 1.
Donc 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏 𝐞𝐭 𝒇! 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙.
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 ! − 𝑥 ! − 1 et 𝑓 ! 𝑥 = 3𝑥 ! − 2𝑥 = 𝑥(3𝑥 − 2)
Sens de variation :
!
𝑓 ! 𝑥 = 𝑥(3𝑥 − 2), les valeurs qui annulent la dérivée sont 0 et ! , on retrouve les renseignements 1 et 3. Donc 𝑓 ! 𝑥 est positive à l’extérieur des racines.
2
𝑓 ! 𝑥 > 0 si 𝑥 ∈ I = −∞; 0 et si 𝑥 ∈ J = ; +∞
3
f est monotone croissante sur I et sur J
2
𝑓 ! 𝑥 < 0 si 𝑥 ∈ K = 0;
3
f est monotone décroissante sur K.
2
𝑓 ! 𝑥 = 0 si 𝑥 = 0 et si 𝑥 = quand 𝑥 = 0 elle atteint un maximum 𝑓 0 = −1
3
2
2