Ch 6 Nombres complexes

Correction des exercices type Bac

Exercice 3 Bac S Antilles-Guyane Juin 2005
(O ; [pic] ; [pic]) est un repère orthonormal du plan (P) .
A est le point d’affixe i et B le point d’affixe –1. f est l’application de (P) privé de O dans (P) qui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M’= f(M) d’affixe z’ = [pic] . 1) a) Soit E le point d’affixe zE = [pic] ; on appelle E’ son image par f d’affixe zE’ . Déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique. zE = [pic] . zE’ = [pic].
Or –1 = –1 + 0i = cos[pic]+ i sin[pic]= [pic], on en déduit que zE’ = [pic] forme exponentielle de l’affixe de E’ et aussi : zE’ = cos[pic] + i sin[pic] = [pic] forme algébrique de l’affixe de E’.
b) On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1 ; Déterminer l’image de C1 par f .
Soit M un point quelconque de C1 d’affixe zM , on a OM = 1 ou [pic] .
On en déduit que [pic] qui peut aussi s’écrire [pic] .
Soit M’ l’image de M par f , d’affixe zM’ ; par définition de f on a zM’[pic]d’où [pic].
Conclusion : l’image de C1 est le même cercle C1 .
Remarque : Le point E du a) appartient à C1 car [pic] , son image aussi car[pic]. 2) a) Soit K le point d’affixe zK =[pic] et K’ l’image de K par f . Calculer l’affixe zK’ de K’. zK’ =[pic] = [pic] forme exponentielle et aussi zK’ = [pic] forme algébrique .
b) Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2 ; Déterminer l’image de C2 par f .
Soit M un point quelconque de C2 d’affixe zM , on a OM = 2 ou [pic] . zM peut alors s’écrire : zM = 2 [pic]où [pic] est un nombre réel quelconque .
Soit M’ l’image de M par f , d’affixe zM’ ; par définition de f on a zM’[pic] .
[pic].
Conclusion : l’image de C2 est le cercle de centre O et de rayon [pic].
Remarque : Le point K du a) appartient à C2 car [pic] , son image K’ d’affixe [pic]appartient au cercle de centre O et de rayon [pic] car OK’=[pic]. 3) On désigne par R un