Nombres complexes

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Nombres complexes
Exercice 1. zi + zj 1) Soient u, v ∈ C. Montrer que |u + v| + |u − v|
4

|u| + |v|, et d´terminer les cas d’´galit´. e e e
3 4

2) Soient z1 , z2 , z3 , z4 ∈ C. Montrer que
k=1

|zk |
k=1 =k+1

|zk + z |.

´ Exercice 2. Equations affines 1) Montrer que toute droite du plan a pour ´quation complexe : az + az = b avec a ∈ C∗ , b ∈ R. e 2) Soient a, b, c ∈ C, a, b nontous deux nuls. Discuter la nature de E = {z ∈ C tq az + bz = c}. Exercice 3. Transformation C \ {i} −→ Soit f : z −→ homographique C \ {1} z+i z−i 1) Montrer que f est bijective. 2) D´terminer f (R), f (U \ {i}), f (iR \ {i}). e

Exercice 4. Soient a, b ∈ U distincts et z ∈ C. On note u = z + abz − a − b . Montrer que u2 ∈ R. a−b Exercice 5. Triangle ´quilat´ral e e Soient a, b, c ∈ Cdistincts. Montrer que les propositions suivantes sont ´quivalentes : e 1) {a, b, c} est un triangle ´quilat´ral. e e 2) j ou j 2 est racine de az 2 + bz + c = 0. 3) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc. 1 4) 1 + 1 + c − a = 0. a−b b−c Exercice 6. Sommets d’un carr´ e a + ib = c+id Soient a, b, c, d ∈ C tels que a + c = b+d. Que pouvez-vous dire des points d’affixes a, b, c, d ? En d´duire qu’il existe z ∈ C tel que(z − a)4 = (z − b)4 = (z − c)4 = (z − d)4 . e Exercice 7. Configuration de points D´terminer les nombres z ∈ C tels que . . . e 1) z, z 2 , z 4 sont align´s. e 2) 1, z, z 2 forment un triangle rectangle. 1 3) z, z , −i sont align´s. e Exercice 8. a + b + c = 1 Trouver a, b, c ∈ U tels que a+b+c=1 abc = 1.

Exercice 9. u + v + w = 0 Soient u, v, w trois complexes unitaires tels que u + v + w = 0.Montrer que u = jv = j 2 w ou u = jw = j 2 v. Exercice 10. z + 1/z = 2 1 Trouver les complexes z ∈ C∗ tels que z + z = 2. Exercice 11. Sym´trique par rapport ` une droite e a Les points A, B, M ayant pour affixes a, b, z, calculer l’affixe du sym´trique de M par rapport ` la droite (AB). e a Exercice 12. Orthocentre d−b Soient a, b, c, d ∈ C deux ` deux distincts. Montrer que si deux des rapports d −a , c − a , d − c sont imaginaires a b−c a−b purs, alors le troisi`me l’est aussi. e

complexe.tex mardi 20 f´vrier 2007 e

Exercice 13. Similitudes dans un triangle On donne un triangle ABC, un r´el positif k et un angle θ. On note SM la similitude directe de centre M , de e e e e rapport k et d’angle θ. Soit C1 d´duit de C par SA , B1 d´duit de B par SC , A1 d´duit de A par SB . Montrer queles deux triangles ABC et A1 B1 C1 ont mˆme centre de gravit´. e e Exercice 14. Centre du cercle circonscrit Soient a, b, c ∈ C, affixes de points A, B, C non align´s. Calculer l’affixe du centre du cercle circonscrit ` ABC en e a fonction de a, b, c. Exercice 15. Sph`re de R3 e Soient u, v ∈ C tels que u + v = 0. On pose x = 1 + uv , y = i 1 − uv , z = u − v . u+v u+v u+v 1) CNS sur u et v pour quex, y, z soient r´els ? e 2) On suppose cette condition r´alis´e. Montrer que le point M (x, y, z) dans l’espace appartient ` la sph`re de e e a e centre O et de rayon 1. 3) A-t-on ainsi tous les points de cette sph`re ? e Exercice 16. Racines de l’unit´ e R´soudre : e 1) 2) 3) 4) (z + 1)n = (z − 1)n . (z + 1)n = z n = 1. z 4 − z 3 + z 2 − z + 1 = 0. 1 + 2z + 2z 2 + . . . + 2z n−1 + z n = 0. 1 + ix= 1 − ix n−1 6) x = x . 3 z+1 + 7) z − 1 5)
n

1 + i tan a . 1 − i tan a z−1 z+1
3

= 0.

Exercice 17. Sommes sur les racines de l’unit´ e Soit ω = exp 2iπ . Calculer : n
n−1

1)
k=0

(1 + ω k )n .

n−1 n−1

2)
k=0 =k

C k ω k+ .

Exercice 18. Somme des puissances p-`mes des racines de l’unit´ e e Soient n, p ∈ N∗ et Un le groupe des racines n-`mes de 1. e 1) Calculer xp .x∈Un

2) Soit P un polynˆme ` coefficients complexes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n − 1 et M = max{|P (x)|, x ∈ Un }. o a e e e a Montrer que tous les coefficients de P sont born´s par M . e Exercice 19. ωk
2

Soient n ∈ N∗ , ω = e2iπ/n et Z =

n−1 k=0

ω k . On demande de calculer |Z|2 . Pour cela . . .

2

´ 1) Ecrire |Z|2 comme une somme double. 2) Regrouper les termes diagonalement...
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