Nombres et calculs

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  • Publié le : 23 décembre 2011
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Chapitre 1 :Nombres et Calculs

I Vocabulaire :

{1; 2; 3; 8; -25} est un ensemble
On écrit 3[pic]{1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 3 appartient à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit 56[pic]{1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 56 n’appartient pas à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit {1; 2}[pic]{1; 2; 3; 8; -25} et on lit « l’ensemble {1; 2} est inclus dans l’ensemble {1; 2; 3; 8; -25}

IILes ensembles de nombres :

a) Les entiers
Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…}
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…}

Exemples : 3[pic]N ; Et 3,5[pic]N
On a N[pic]Z

b) Les décimaux
Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un entier naturel.Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule avec une partie décimale qui a un nombre fini de chiffres non nuls

Exemples : 3.52 est un nombre décimal ; Les entiers sont des décimaux par conséquent on a
Z[pic]D

c) Les rationnels

Def : Un nombre rationnel est un quotient a/b avec a et b des entiers relatifs (b≠0). Q est l’ensembledes rationnels.

Exemples : 3/2 ; -5/4 sont des rationnels.
Tous les décimaux sont rationnels ; 3,52= 352/100
Par contre il existe des rationnels non décimaux comme 1/3

Par conséquent on a D[pic]Q

d) Les réels

Def : Les rationnels et les irrationnels constituent l’ensemble des réels noté R.
R est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.

[pic] sont desirrationnels. On a Q[pic]R
e) Représentation de ces ensembles

[pic]

III Calculs dans R :

a) Egalités remarquables

Propriété : Soient a et b deux réels
(a+b)2 =a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =a2- 2ab + b2
(a-b)(a+b)=a2-b2

On peut juste remarquer que les identités remarquables que l’on a étudiées au collège sont aussi valables pour tout réel.
On peut donnerdes exemples en remplaçant a ou b par des radicaux, des irrationnels…

b) Racines carrées

Def : Soit a un nombre réel positif. On note [pic]l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à a.

Exemples : [pic] car 72=49
Remarque : On a vu que [pic] en effet en utilisant la définition 1.4142[pic]2

Propriétés : Soient a et b des réels positifs
i) [pic] et [pic]signifie que a=0
ii)[pic]
iii) [pic]
iv) [pic]
v) Si de plus b>0 [pic]

c) Puissances

Def : Soit a un réel quelconque. Pour n entier et [pic] [pic]
n est appelé l’exposant de an.

Rq : a0=1 et a1=a

Propriétés : Soient a et b des réels non nuls et n et p des entiers relatifs.
i) [pic] iv) [pic]
ii) [pic] v) [pic]
iii)[pic] vi) [pic]

d) Ecriture scientifique d’un nombre décimale

Def : La notation scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme [pic]avec [pic] et a est un décimal tel que [pic]

Exemple : [pic]
[pic]

e) Ecriture d’un réel sans radical au dénominateur

Méthodes pour écrire les nombres suivant sans radical audénominateur :

[pic] on le multiplie par [pic]
[pic] on le multiplie par [pic]
[pic] on le multiplie par [pic]

Exemples d’applications :

Exprimer sans radical au dénominateur les nombres suivants :
[pic]

[pic]

[pic]

IV Opérations dans l’ensemble des rationnels :

Rq : Dans le tableau suivant on considère que les dénominateurs sont non nuls.

|Signes -|[pic] et [pic] |
|Simplification |[pic] si [pic] |
|Egalité |[pic] se traduit par [pic] |
|Addition...
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