C HAPITRE

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LE
CHAOS ALGORITHMIQUE ET LA MÉTHODE D ’ INCOMPRESSIBILITÉ par Paul Vitányi

De nombreuses théories physiques comme la théorie du chaos traitent fondamentalement de la tension conceptuelle entre déterminisme et hasard. La complexité de Kolmogorov peut exprimer le hasard à l’intérieur du déterminisme et fournit une approche pour formuler le comportement chaotique. Nous utilisons la méthode d’incompressibilité comme outil technique pour quantifier l’imprévisibilité des systèmes chaotiques. Nous présentons la méthode par des exemples : la distribution des nombres premiers et la taille maximale des cliques dans les graphes aléatoires.

1. Introduction
Idéalement, les théories physiques sont des représentations abstraites : ce sont des théories mathématiques axiomatiques d’une réalité physique sous-jacente. Cette réalité, ne pouvant être directement éprouvée, est donc inconnue et même, en principe, inconnaissable. Comme substitut, les scientifiques postulent une description informelle acceptable intuitivement, et formulent ensuite une ou plusieurs théories mathématiques pour décrire les phénomènes. Le chaos déterministe. De nombreux phénomènes physiques (par exemple météorologiques) satisfont des équations déterministes communément admises. À partir

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de données initiales, nous pouvons extrapoler et calculer les états suivants du système. On pensait traditionnellement qu’une précision accrue des données initiales (mesure) et une puissance de calcul accrue conduiraient à une extrapolation de plus en plus précise (prédiction) sur des durées inversement proportionnelles à la précision choisie. Mais il s’est trouvé que pour beaucoup de systèmes (« chaotiques ») l’extrapolation ne peut se faire, au mieux, que sur des durées inversement proportionnelles au logarithme de la précision. En fait, il s’avère qu’il est pratiquement impossible de faire une prédiction à long terme qui soit