Nombres transcendants

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LES NOMBRES
TRANSCENDANTS

Année scolaire 2010/2011
SommaireSommaire
Introduction4
I. Historique5
II. Quelques propriétés des nombres algébriques6
II.1. Définitions6
II.2. Propriétés7
II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7
III. Les nombres transcendants8
III.1. Définitions8
III.2. Construction d'un nombre transcendant9
III.2.a. Théorème de Liouville9
III.2.b. Les nombres deLiouville10
III.2.c. La constante de Liouville11
IV. Transcendance de e12
IV.1. Plan de la démonstration12
IV.1.a. Définition12
IV.1.b. Description de la méthode12
IV.2. Démonstration de la transcendance de e13
IV.2.a. Lemme n ° 1 : une intégration par parties13
IV.2.b. Démonstration de la transcendance de e par l'absurde15
IV.2.c. Première étape - lemme n° 2 : un lemme sur ladérivation.15
IV.2.d. Deuxième étape : l'égalité 17
IV.2.e. Troisième étape : minoration17
IV.2.f. Quatrième étape : majoration18
V. Transcendance de π21
V.1. Préliminaires21
V.1.a. Propriétés des nombres algébriques 21
V.1.b. Polynômes symétriques22
V.2. Démonstration de la transcendance de π24
V.2.a. Formule d'Euler24
V.2.b. Définition d'un polynôme à coefficients entiers24
V.2.c. Un multiple dep.26
V.3. Une égalité impossible29
V.3.a. Minoration du terme de gauche 29
V.3.b. Majoration du terme de droite 30
V.3.c. Conclusion31
V.4. Conséquence sur la quadrature du cercle31
VI. Théorèmes de Lindemann32
VI.1. Théorème de Hermite-Lindemann32
VI.2. Théorème de Lindemann-Weierstrass32
VI.2.a. Étape A33
VI.2.b. Étape B37
VI.2.c. Étape C38
VI.2.d. Étape D39
Conclusion41IntroductionAlors que les nombres irrationnels sont connus dès l'Antiquité, la notion de nombres transcendants n'apparaît qu'au XVIIème siècle. Et ce n'est qu'en 1844 que Joseph Liouville prouve leur existence.

Les nombres transcendants seront l'objet de ce TIPE de mathématiques et plus particulièrement la démonstration de la transcendance de e et π.

Dans un premier temps, nous présenterons unhistorique des nombres transcendants, ainsi que les définitions générales autour de la transcendance. Nous étudierons par la suite la démonstration de la transcendance des nombres de Liouville que nous aurons définis préalablement.

Nous nous attacherons ensuite à démontrer la transcendance de e puis celle de π.

Enfin, nous proposerons une démonstration du théorème de Lindemann-Weierstrass quipermet de définir la transcendance de certaines puissances de l'exponentielle.

HistoriqueSi la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au XVIIème siècle que l'on commence àfaire la distinction entre les nombres algébriques, tels que √3/2 ou cos (π/n) avec n entier, qui sont racines de polynômes à coefficients entiers et les autres nombres réels qualifiés de transcendants. Mais l'existence des nombres transcendants n'a été prouvée qu'au XIXème siècle.

En 1844, Joseph Liouville établit, pour la première fois, l’existence des nombres transcendants par uneconstruction fondée sur le fait que les nombres irrationnels algébriques sont « mal approximés » par les nombres rationnels. Il en exhibe plusieurs exemples dont la constante de Liouville. En 1873, Charles Hermite établit la transcendance de e, base des logarithmes népériens. C'est le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement dans ce but.
En 1874, Cantormontre que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable et par conséquent, en déduit l'existence des nombres transcendants.

Avec une démarche semblable à celle d'Hermite et en s'appuyant sur la formule d'Euler, Ferdinand Lindemann publie en 1882 une démonstration de la transcendance de π. En réalité, il établit un résultat plus large : il montre que e à n'importe quelle puissance algébrique...
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