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23 septembre 2010

Mathématiques 2 Equations différentielles
M-A Dronne

PACES, Pôle Est, Lyon
1

Sommaire
ED du 1er ordre
A variables séparables Linéaires à coefficients non constants Linéaires à coefficients constants

ED du 2nd ordre
Linéaires à coefficients constants

Système d’ED
Du 1er ordre, linéaires, à coefficients constants
2

1

Définitions
Définition
Soit unefonction y d’une seule variable t. On parle d’équation différentielle quand on a une équation qui comprend la variable t, la fonction y et ses dérivées d’ordre 1 à n.

F t, y(t ), y' (t ),...,y( n ) (t) = 0

(

)

Remarque
Dans le cas d’une fonction d’une seule variable, on parle d’équation différentielle (ED) ou équation différentielle ordinaire (EDO). Dans le cas d’une fonction deplusieurs variables, on parle d’équation aux dérivées partielles (EDP).
3

Applications des ED
Physique
Mécanique Electricité Radioactivité

Chimie Pharmacologie
Pharmacocinétique (PK)

Bactériologie Epidémiologie Ecologie
4

2

Exemple d’application
Mécanique
Soit un point matériel M accroché à un ressort (en 1D). Soit x l’abscisse de M.
x = x ' ( t ) : vitesse de M


x = x ' ' (t ) = x ( 2) ( t ) : accélération de M

••

Soit les constantes suivantes :
m : masse de M k : raideur du ressort γ : coefficient de frottement

Oscillations non amorties (équation harmonique) :
m x = − kx
••

Oscillations amorties : m x = −γ x − kx
5

••



Exemple d’application
Croissance de population
Soit y une fonction de t représentant la densité d’une populationExemples de modèles
Modèle exponentiel : y' = µy Modèle logistique : y ' = µy 1 −

 

y  K

(µ, K ∈ R )
+∗

Applications
Bactériologie Ecologie Epidémiologie
6

3

Applications des systèmes d’ED
Pharmacologie
Modèles PK

Epidémiologie
Modèles SIR (« sains », « infectés », « retirés »)

Physique Bactériologie
Modèle de Monod

Ecologie
7

Définitions
Soit une fonctiony de t. On considère l’ED suivante :

F t , y( t ), y' ( t ),..., y ( n ) ( t ) = 0

(

)

Caractéristiques de l’ED
Ordre Linéarité / non linéarité Coefficients constants / non constants Avec / sans second membre

Ordre de l’ED
Définition : c’est l’ordre de la plus haute dérivée Exemples :

2 y'+(2t ) y + 5 = 6t 2 4 y ' '+ 3 y '+ (cos( t )) y = 7

ED du 1er ordre ED du 2nd ordre
84

Définitions
Linéarité (par rapport à y)
Définition : une ED linéaire ne contient pas de terme non linéaire en y Exemples de termes non linéaires (en y) y 2 , y n , y , 1/y, e y , ln(y), cos(y), sin(y),...

yy' , y / y' ,...

y' 2 , y' n , y' , 1/y' , e y' , ln(y' ), cos(y' ), sin(y' ),...
Exemples d’ED : 4 y' '+3y'+(cos( t )) y = 7

4 y' '+3y'+ ( y + t ) y = 7 4 y' '+3yy'+7 y =7

ED linéaire ED non linéaire ED non linéaire
9

Définitions
Second membre
Définition : le 2nd membre ne comporte pas de terme en y ou y’ (ou y’’…). Il peut être constant ou fonction de t. Il se met à droite du signe égal. Exemples : 4 y' '+3y' = cos( t ) 4 y' '+3y'+ sin( t ) + 6 = 0 4 y' '+3y'+ sin( t ) y = 0 2nd membre : d( t ) = cos(t ) 2nd membre : d( t ) = − sin( t ) − 6 2nd membre :d ( t ) = 0 Équation sans second membre

10

5

Définitions
Coefficients
Définition : les coefficients sont les termes situés devant y, y’, y’’,…. Ils sont dits non constants s’ils dépendent de t. Exemples : 4 y ' '+ 3 y '+ 7 y = cos( t ) coefficients constants coefficients non constants

4 y ' '+ 3 ty '+ 7 y = 8

11

Exemples
Soit les ED suivantes dans lesquelles y est unefonction de x :

A : y (2) + 3xy = 5x B : 4yy' +5 = 3y C : (3y + x)y' +4y = 5 D : y (4) + (4x + 2)y = 5y 2
E : y (2) + 3y' = 3 + y F : 4y (3) + (4 x )y (2) = 7y' G : (3cosx)y' +2y = 2 H : y (2) + (3 y )y'+3y = cosx
12

6

Exemples
Parmi ces équations différentielles, indiquer celles qui sont :
du 1er ordre : B, C, G du 2nd ordre : A, E, H du 3ème ordre : F linéaires à coefficients constants...
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