Maths au lycee *** Ali AKIR

Séries d’exercices 4ème technique
Continuite et limites

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EXERCICE N°1
Calculer les limites suivantes :
1 − x² + 3 x
2 − x + x² x² + 2 − 3 x lim ; lim
; lim
; lim x ² + 3 x − 2 x ; lim x ² + 3 x − x ; x →+∞ 1 + x − x ² x →1 1 + x − 2 x ² x → +∞ x →+∞ x →1 x −1

 x +7 − 3 x −3
1
lim x ² + 3 x − x ; lim x ² + 3 x − 3 x + 1 ; lim
; lim
; lim x  4 + − 2 

x →−∞ x →+∞ x →3 x + 6 − 3 x →2 x + 2 − 2 x →0  x 


(

(

lim

x → +∞

, lim x →0

)

(

(

)

(

)

)

)

cos x − 1 x − 3 + x −3
 2 πx − 1  x² + x − x² − x ; lim cos
; lim
 ; lim x →+∞ x →3 x  3 x − 2  x →0 x² − 9
4 + sin x − 2
1 − tan( x )
; lim π cos( 2 x ) x x→

2 cos( x ) − 1 sin 3 x
1 − sin x + cos ² x
; lim
; lim
.
π π x → 0 1 − cos 3 x x → 4 sin ²( x ) − 3 x → sin x + cos ² x − 1

; lim

4

3

2

EXERCICE N°2
On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) =
Montrer que , pour tout x ≥ 2 ,

|f(x) − 3| ≤

3 x + sin x
.
x−1

4
. En déduire la limite de f en + ∞ x−1 EXERCICE N°3
La fonction f est définie sur IR par : f (x) =
1°)) Montrer que, pour tout réel x,

1
.
2 – cos x

1
≤ f (x) ≤ 1 .
3

b) En déduire les limites suivantes :

1 x2 + 1
1
lim
; lim et lim x → +∞ x (2 – cos x) x → –∞ 2 – cos x x → 0 x2 (2 – cos x)

EXERCICE N°4
Soit la fonction f : x ֏ 3 x + 2 sin x
1°)a-Montrer que pour tout x de R : 3 x − 2 ≤ f ( x ) ≤ 3 x + 2 b-En déduire lim f ( x ) et lim f ( x ) x →−∞

x →+∞

 x si x ≠ 0

2°)Soit la fonction g défini sur R par : g ( x ) =  f ( x )
 1 si x = 0
 5 a- Montrer que g est continue en 0. x x
2
 b- Montrer que pour tout x ∈  ,+∞  :
≤ g( x ) ≤
3x − 2
3
 3x + 2 c- En déduire lim g ( x ) . Interprète géométriquement le résultat. x → +∞

EXERCICE N°5
Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) =

x + cos