CCP PC 2010 , math II parties 1 et 3
PARTIE 1 1. D contient tous le réels sauf les entiers strictement négatifs. Les fonctions un sont donc toutes dé…nies sur D pour n 1: 1 1 De plus on a l’ équivalent entre suites positives : , donc par comparaison à une série de Riemann (2>1) 2 (n + x) n2 8x 2 D , 2. 1. On véri…e par récurrence : 8x 2 D , u(p) (x) = n si p = 0 , 8x 2 D , u(0) (x) = n ( 1)p (p + 1)! : (n + x)2+p 1 est dé…nie (n + x)2 n=1
+1 X

( 1)0 (1)! est bon. (n + x)2+0 2 ( 1)1 (1 + 1)! si p = 1 , 8x 2 D , u0 (x) = = n 3 (n + x) (n + x)2+1 p ( 1) (p + 1)! si 8x 2 D , u(p) (x) = alors n (n + x)2+p 8x 2 D,u(p+1) (x) = ( 1)p (p + 1)! n et donc on a bien : 8p 2 N , 8x 2 D , u(p) (x) = n 2. pour n 1: x 1 (n + x)2+p
0

= ( 1)p (p + 1)!

(p + 2) (n + x)2+p+1

=

( 1)p+1 (p + 2)! (n + x)2+(p+1)

( 1)p (p + 1)! (n + x)2+p

> (n + x)2+p est croissante positive sur [a; b] car (n + x) est toujours positif. et donc :
(p) 8p 2 N; 8x2 [a; b] , un (x) (p) un (a)

le majorant est indépendant de x et X

u(p) converge normalement sur [a; b] n

X

u(p) (a) converge car u(p) (a) n n

(p + 1)! ]

1 np+2

avec p + 2 > 1:

1; +1[

3. On a toutes les hypothèses du théorème de dérivation termes à termes : 8n 2 N , un est de classe C 1 sur ] 1; +1[ . X 8p 2 N , u(p) converge normalement sur tout segment inclus dans ] n et donc U 2 C 1 (] 1; +1[; R) 3. 1. U (x) =
N +1 X X 1 1 1 = + 2 2 (n + x) (n + x) (n + x)2 n=1 n=1 n=N +1 +1 X

1; +1[:

=

1 + (n + x)2 n=1
N X

=

= UN (x) + U (x + N )

+1 X 1 1 + en posant m = n 2 (n + x) (m + x)2 m=1 n=1

N X

n=N +1

+1 X

((n

1 N ) + (x + N ))2 N

8x 2 D , U (x) = UN (x) + U (x + N )

2. Si x 2] N 1; N [ , x + N 2] 1; 0[ et donc x ! U (x + N ) est C 1 sur ] N 1; N [ , par composition de fonction C 1 :UN est une somme d’ nombre …ni de fonctions C 1 sur ] N 1; N [ , donc est C 1 sur ce domaine. un Donc par somme de fonctions C 1 , U 2 C 1 (] N 1; N [; R) . Comme D = ([N 2N ] N 1; N [)