Universit´e Paris 1, Panth´eon - Sorbonne

On peut donc utiliser uniquement les variables (x11 , x12 ) dans l’´equation
2x11
x21
2x11
e1 − x11
2x11
3 − x11
=
=
=
=
=
3 − x12 x12 x22 x12 e2 − x12 x12 Deuxi` eme ann´ ee Licence M.A.S.S.
2009 − 2010

Ce qui donne (2x11 )(3 − x12 ) = (x12 )(3 − x11 ), et on peut exprimer x12 en fonction de x11 .
Donc, les optimas de Pareto int´erieurs sont les points de la forme :

´
Economie
: micro´ economie (x11 ,

6x11
6x11
1
),
(3
−
x
) ,
,
3
−
1
3 + x11
3 + x11

x11 ∈]0, 3[.

Sur la figure, on a repr´esent´e les deux tangentes.

Point m´ethode 5 : D´eterminer la courbe des contrats

.
On souhaite d´eterminer la courbe des contrats (ensemble des optima de Pareto). On sait qu’`a l’int´ erieur de la boite d’Edgeworth, l’ensemble des optima de Pareto est d´efini par les points ou les courbes d’indiff´erence sont tangentes. Donc on regarde la colin´earit´e des gradients.

3

Exemple : Consid´erons une ´economie `a deux consommateurs : u1 (x11 , x11 ) = (x11 )1/3 (x12 )2/3 u2 (x21 , x22 ) = (x21 )1/2 (x22 )1/2 e = (3, 3)
∇u1 (x11 , x12 ) = λ1 ( 11 , 21 ), ∇u2 (x21 , x22 ) = λ2 ( 12 , 12 ). x1 x2 x1 x2
1
2x
Puisque ∇u1 (x11 , x12 ) est colin´eaire `a (1, 11 ), et que ∇u2 (x21 , x22 ) est x2 x21 colin´eaire `a (1, 2 ), on obtient la condition ∇u1 (x11 , x12 ) est colin´eaire `a x2 ∇u2 (x21 , x22 ) si et seulement si

2

1

0

2x11 x21 =
.
x12 x22 0

1

2

3

Fig. 1 – Ensemble des Optimas de Pareto

Mais puisqu’il s’agit d’une allocation r´ealisable, on a x11 + x21 = e1 x12 + x22 = e2
1