Outils de base en analyse numérique

Sébastien Charnoz & Adrian Daerr

Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay

En analyse numérique, un certain nombre de calculs sont faits de manière répétitive. Exemple : Résoudre un système linéaire, Inverser une matrice, Calculer le déterminant, valeurs propres, vecteurs propres

Interpoler une fonction Extrapoler une fonction Décomposer une fonction sur une base de fonctions (ex: TF)

« fitter » des points de mesure avec des fonctions connues Etc…

Des algorithmes performants existent souvent, mais qui ont chacun des spécificités. En fonction de nos besoins, il faudra choisir l’algorithme adapté

La plupart de ces outils « de base » sont souvent déjà programmés dans des librairies de calculs mathématiques (ex: NAG) . De manière générale, il n’est jamais bon de l’utiliser comme une « boîte noire » : En fonction du problème, en choisissant l’algorithme le plus adapté, on peut gagner du temps de calcul , ou mieux : éviter des instabilités numériques.

Exemple 1: Si vous avez besoins de calculer l’inverse d’une matrice, et que sont déterminant est très proche de 0 (mais non exactement 0), le calcul sera très sensibles aux erreurs de troncatures de la machine. Dans ce cas il faut préférer une inversion itérative, plutôt qu’une inversion exacte… Exemple 2 : Si vous souhaitez décomposer une fonction sur une base de fonctions, ll vaut mieux bien connaître cette base, sinon vous ne saurez pas vraiment ce que vous faites… Souvent, une telle décomposition engendre des instabilités dans le schémas numérique en raison de la discrétisation etc…

Dans ce chapitre, nous aborderons 3 points :

Systèmes linéaires Calcul matriciel, inversions etc…

Interpolation et Extrapolation de fonctions Différentes méthodes, décomposition sur une base, moindres carrés etc..

Générateurs de nombres pseudo-aléatoires Qu’est ce qu’un bon générateur ? Comment les construire ? etc…

LES SYSTEMES LINEAIRES
En analyse numérique,