Optimisation avec contraintes méthodes primales

1. Approche générale
Considérons le problème général de programmation mathématique suivant:
Min f  x 

1

xR

où le domaine réalisable R est en général défini à l'aide d'un ensemble de contraintes de type g i  x   0, i  1,, m





i.e., R  x 

n



: gi  x   0, i  1,, m .

Considérons le problème général de programmation mathématique suivant:
Min f  x  . xR 1

Approche de résolution: méthode itérative i ) Itération initiale
Déterminer une solution initiale x 0  R. ii ) Itération générale  k  1
Déterminer une direction d k et un pas  k dans cette direction pour s'éloigner de la solution actuelle x k en prenant x k 1 = x k + k d k  R. iii ) Répéter l'itération générale jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit satisfait. La direction d k varie selon la méthode.
Par contre, les méthodes utilisent en général un "pas" optimal déterminé comme suit:
Étant donné x k et d k , dénotons par  k la plus grande valeur que peut prendre le pas  k de sorte que x k   k d k  R.
*
Alors le "pas" optimal  k satisfait la relation





* f x k   k d k  Min

0  k  k

 f x

k

 k d k



 2

2. Méthode des directions réalisables
Soit le problème 1 où f  C1 / R et où R est défini à l'aide d'un ensemble de contraintes linéaires. Ce problème prend la forme suivante:
Min f  x 
 P
T

a i x  bi

Sujet à

i  1,

, m.

Étant donné une solution réalisable x k de  P  définissons l'ensemble des indices des contraintes actives





iT

I k  i : a x k  bi .
Puisque le pas  k  0, alors pour que x k + k d k  R, il faut que iT iT

i  I k

iT

i  I k .

a x + k a d k  bi
i.e.,

k

k a d k  0

 P

Min f  x  iT a x  bi

Sujet à



i  1,

, m.



iT

I k  i : a x k  bi .
Puisque le pas  k  0, alors pour que x k + k d k  R, il