NOM : CORRIGE FA 2008 Groupe : 1 2

Prénom : 3 4 5 6

Test de Mathématiques N°1, le 7 janvier 2009
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Durée 4 heures. Notes personnelles sur 2 feuilles au format A4 autorisées. Documents non autorisés. Calculatrice, ordinateur non autorisés.

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Exercice N°1 – Marketing ! L’étude de marché a montré que la quantité q de produit est liée à son prix de vente p par la relation suivante : q = −kp + q0 Le coût de production fait intervenir des frais fixes C0 et le coût unitaire Cu . Ainsi le coût total pour produire q unités est : C (q) = qCu + C0 1.1 – Etablir l’expression du bénéfice brut réalisé en fonction du prix de vente - (2 points) Le bénéfice brut est obtenu en retranchant des recettes totales les coûts de production. Ainsi on peut écrire :

B = pq − c(q) = pq − qCu − C0 Pour éliminer q de cette expression utilisons l’équation du marketing : B ( p ) = p (− kp + q0 ) − (− kp + q0 )Cu − C0
B ( p ) = −kp 2 + pq0 + kCu p − q0Cu − C0

B( p) = −kp 2 + (q0 + kCu ) p − (q0Cu + C0 )
1.2 – On donne les paramètres suivants : k = 20 unité / €, q0 = 9600unités, Cu = 40 €, C0 = 30000 € . Déterminer quel doit être le prix de vente optimal permettant de maximiser le bénéfice réalisé - (2 points) Les paramètres donnés permettent d’exprimer B( p) comme suit :

B( p) = −20 p 2 + 10400 p − 414000

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Il nous suffit d’étudier les variations de la fonction B( p) en en calculant la dérivée : B' ( p) = −40 p + 10400 D’où le tableau de variation suivant :

p B' ( p) B( p)

+ Croissant

260 0 Maximum

Décroissant

Le prix optimal permettant de réaliser le bénéfice le plus important est de 260 € 1.3 – Calculer la quantité ainsi produite et le bénéfice brut réalisé - (1 point) En utilisant la formule du marketing avec le prix optimal nous obtenons 4400 unités. Le bénéfice réalisé est de 938 000 €. Exercice N°2 – Trigonométrie et complexes 2.1 – En utilisant les formules de trigonométrie déterminer les