Pauline

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  • Publié le : 20 novembre 2010
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Méthode 1 : Démontrer qu'un point est sur un cercle
À connaître
Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.

Exemple : Soit EFG un triangle rectangle en F.
Démontre que le point F appartient au cercle de diamètre [EG]. Figure F Données Propriété Conclusion

E

G

Le triangle EFG Si un triangle est rectangle Le point F est rectangle en alorsson cercle circonscrit a appartient au F. pour diamètre son hypoténuse. cercle de diamètre [EG].

À toi de jouer
1 Construis un triangle EFG rectangle en F tel que EG = 8 cm et EF = 5 cm puis trace son cercle circonscrit. Justifie ta construction. 2 Soient ABC et BCD deux triangles rectangles respectivement en A et en D. Démontre que les points A et D appartiennent au cercle de diamètre [BC].Méthode 2 : Calculer la longueur d'une médiane
À connaître
Si un triangle est rectangle alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Exemple : Le triangle POT est un triangle rectangle en O tel
que TP = 8 cm. Le point S est le milieu du segment [TP]. Quelle est la longueur du segment [SO] ? P S

O

T

Étape préliminaire: Dans le triangle POT rectangle en O, [OS] joint le sommet O et le milieu S de [TP] donc [OS] est la médiane issue du sommet de l'angle droit O. Données Le triangle POT est rectangle en O, [OS] est la médiane issue du sommet de l'angle droit O, TP = 8 cm. Propriété Si un triangle est rectangle Conclusion OS =
1 TP 2

alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la 1 moitiéde la longueur de OS = 2 × 8 cm l'hypoténuse. OS = 4 cm M

À toi de jouer
3 Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en C, M est le milieu du segment [AB] et CM = 2 cm. Quelle est la longueur du segment [AB] ? Justifie ta réponse.

A

B

C

TRIANGLE

RECTANGLE

– CHAPITRE G1

Méthode 3 : Démontrer qu'un triangle est rectangle
À connaître
Si un triangle estinscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.

Remarque : Voici une autre formulation possible de cette propriété :
Si on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre de ce cercle alors le triangle ainsi formé est rectangle en ce point.

Exemple : Trace le cercle de diamètre [SR] tel que SR = 7 cm puis place sur cecercle un
point H tel que RH = 4 cm. Démontre que le triangle RHS est rectangle en H. Données Propriété Conclusion

Le point H appartient Si un triangle est inscrit dans un Le triangle SHR est au cercle de diamètre cercle de diamètre l'un de ses côtés rectangle en H. [SR]. alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.

À toi de jouer
4 Trace un cercle de diamètre [AB] puisplace sur ce cercle un point C tel que  = 50°. Calcule les mesures des angles  et  en justifiant tes réponses. BAC ACB ABC 5 Dans chacune des figures ci-contre, nomme tous les triangles rectangles non tracés en utilisant les points donnés. Justifie tes réponses. Figure 1 T A O R B P G Figure 2 K N H

À connaître
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale àla moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.

Exemple : MON est un triangle, U est le milieu de [MN] et on a :
MN = 8 cm ; OU = 4 cm. Démontre que le triangle MON est rectangle en O.

O

U M N Étape préliminaire : Dans le triangle MNO, [OU] joint le sommet O et le milieu U de [MN] donc [OU] est la médiane relative au côté [MN].Données Dans le triangle MNO, [OU] est la médiane relative au côté [MN], MN = 8 cm et OU = 4 cm. Propriété Conclusion Si, dans un triangle, la longueur Le triangle MNO est de la médiane relative à un côté rectangle en O. est égale à la moitié de ce côté alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.

À toi de jouer
6 Soit RST un triangle isocèle en T et soit U le symétrique du...
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