Pavages du plan

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  • Publié le : 15 novembre 2011
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PAVAGES DU PLAN
KACIMI Rilès – RUGGERI Shauna – ROY Alexandre
Chacun a déjà vu des pavages: les nids d'abeilles, les rues pavées des cités médiévales, le carrelage des salles de bains, le parquetdes salons, les mosaïques des mosquées, mais aussi le papier peint, les nappes de table de cuisine, les papiers cadeau, les robes à fleurs, etc. D'une manière plus générale, il s'agit de recouvrir unesurface avec un motif sans qu'apparaisse le moindre trou.
Les pavages qui nous intéressent ici sont dits invariants par translation. Cela signifie que l'on peut reproduire une partie du décor sur uncalque et déplacer ensuite ce calque par une translation pour recouvrir exactement une autre partie du décor. Le but du jeu consiste à trouver le plus petit motif qui permettra de générer tout lepavage.

Les 17 types de pavage
Les pavages périodiques du plan ou de l’espace sont connus depuis l’antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture.
En cristallographie,ces pavages modélisent les arrangements périodiques d’atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Evgraf Fedorov a montré qu’il existait seulement 17 types de groupescristallographiques du plan .

Voici les noms des 17 types utilisés en cristallographie,

p1 | p2 | p3 | p4 | p6 | pg ou pg2 | pgg | pm | cm |
pmg | pmm | cmm | p4g | p3m1 | p31m | p4m | p6m | |http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/pavage_17_types.htm
Les 17 types : un algorithme de reconnaissance
Les cristallographes ont déterminé et classifié au 19ème siècletous les groupes distincts d'isométries du plan et de l'espace (parfois sous la forme de détermination des réseaux cristallins, sans expliciter l'aspect groupal). Le premier d'entre eux est leFrançais Auguste Bravais (1811-1863) qui a publié les résultats, en 1847, sous forme d'une classification des réseaux : les 230 réseaux de Beauvais à 3 dimensions.
Par la suite, le cristallographe et...
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