CONCOURS COMMUN 2009

DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques
(filière MPSI)

Mardi 19 mai 2009 de 08h00 à 12h00

Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondant à l’épreuve spécifique de Mathématiques.

L'emploi d'une calculatrice est interdit.
Remarque importante : Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Problème 1. 1 ≈ 0.61, On rappelle que le nombre e = exp(1) ≈ 2,72 , e I Etude d’une fonction.

2 ≈ 1,41 et ln(3) ≈ 1,10.

Soit f définie sur  par :∀ x∈, f(x) = 3 x exp(− x ²) − 1 = 3 xe − x ² − 1 . 1 Etudier les variations de f sur , ainsi que les limites aux bornes du domaine de définition. Donner le tableau de variations de f. Préciser les branches infinies de la courbe représentative Cf de f. 2 Calculer f ′′(x) . Qu’en déduit-on pour le point de Cf d’abscisse 0 ? 3 Donner l’équation de la tangente en 0. Etudier la position de la courbe Cf par rapport à la tangente au point d’abscisse 0. Quel résultat retrouve-t-on ? Donner l’allure de la courbe Cf de f.

4 5 a) Pourquoi f admet-elle des développements limités en 0 à n’importe quel ordre ? b) Donner le développement limité de f au voisinage de 0 à l’ordre 5.

CONCOURS COMMUN SUP 2009 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4

II Etude d’une équation différentielle. Soit n un élément de *. Soit En l’équation différentielle xy’–(n–2x ²)y = n–2x ². Soit Hn l’équation homogène (dite aussi