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  • Publié le : 2 janvier 2011
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Comme nous venons de le voir, l’étude des empreintes digitales ou dactyloscopie est longtemps restée le moyen privilégié d’identification des personnes et reste encore très utilisée. En effet, la police scientifique s’appui sur une propriété qui dit: « une empreinte digitale correspond à une seul et unique personne ».
Cette propriété est-elle démontrée ? Quelle formule mathématique nouspermet de l’affirmer ?

C’est ce que de nombreux physiciens et mathématiciens ont tenté d’établir. Seul le modèle proposé par Balthazard s’applique au cas dont il s’agit ici.

● Balthazard part du principe que chaque empreinte offre en moyenne 100 minuties.
Il ne considère que deux sortes de minuties : les bifurcations*, ainsi que les arrêts de lignes* (étant les types les plus communs).On observe ensuite que si on oriente l’empreinte autour de son delta*, une minutie peut-être dirigée dans le sens des aiguilles d’une montre, ou l’inverse.
On en déduit 4 particularités différentes, que l’on peut noter a, a’, b et b’.
Balthazard modélise une surface composée de 100 carrés identiques et indépendants, où chaque carrés peut contenir une des 4 minuties de manière équiprobable.Il existera donc 4100 empreintes digitales possible.

a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ | | a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ |   a,a’,b,b’ | |
  a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’| a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | |
 a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | |
 a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | | 
a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’| a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | | 
a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | | 
a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | | 
a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ ||
 a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | a,a’,b,b’ | |Tableau d’illustration :

● La probabilité (ou chance) que deux empreintes soient identique est donc de (1/4)100.

→ Maintenant, la question à ce poser est de savoir combien faut-il de minutie identique entre deux empreintes digitales, afin de pouvoir les distinguer defaçon certaine.

● Pour cela, on suppose l’équiprobabilité de chaque empreinte pour pouvoir affirmer que :

−Il existe 499 possibilités d’empreintes pour une minuties identiques entre les deux empreintes ;
−Il existes 498 possibilités d’empreintes pour deux minuties identiques entre les deux empreintes ;
−Il existe 497 possibilités d’empreintes pour trois minuties identiques entre les deuxempreintes ;
(etc…)

En formulant ces égalités de manière différentes, on peut trouver la probabilité d’erreur, appelé pk dans laquelle deux empreintes, avec k minuties identiques, ne seraient pas les même. De façon générale, on l’écrit :

Pk = 4100-k/4100 = 1/4k

●A l’époque, Balthazard compté 1,5 milliards d’habitants sur terre, soit 15 milliards de doigtsou encore 15 milliards d’empreintes digitales différentes.

Donc, pour avoir la certitude qu’une empreinte relevée sur une scène de crime soit révélatrice d’un unique individu, il fallait obtenir une probabilité d’erreur inférieur à 1/ 15*109, où dire que 4k ≥ 15*109.
On trouve : k ≥ 17 ; cela signifie qu’à l’époque de Balthazard, 17 minuties communes étaient nécessaire pour...
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