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  • Publié le : 7 décembre 2009
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PRIMITIVES.
1. Définition de primitives et conséquences.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien :

! x " !,

F'(x) = 3x 2 + cos x = f (x) .

Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I alors elle en admet une infinité. Ce sont toutes les fonctions du type F + c où c est une constante réelle.Démonstration : Soient F et G deux primitives de la fonction f sur I. Alors : ! x " I, (G # F)'(x) = G '(x) # F '(x) = f (x) # f (x) = 0 . I étant un intervalle G – F est une fonction constante. Il existe donc un réel c tel que G – F = c. D’où le résultat G = F + c. Remarque : il suffit donc de connaître une primitive F de f pour toutes les connaître. On dit parfois que F est unique à une constanteadditive près. Ce théorème présuppose l’existence d’une primitive. Interprétation graphique : Les représentations graphiques CF et CG se

! correspondent par une translation de vecteur c j .

Théorème : Si f est une fonction continue sur un intervalle I alors f admet des primitives sur I. Démonstration : ce théorème est admis. Remarque : ce théorème donne une condition nécessaire mais nonsuffisante à l’existence de primitives. En d’autres termes toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I mais il existe des fonctions non continues qui en admettent aussi. Remarque : l’interprétation graphique ci-dessus nous amène à nous demander si la courbe représentative d’une des primitives passe par un point M(x0 ; y0) donné avec x0 appertenant à I. En d’autres termes,existet-il une primitive G de f telle que G(x0) = y0 ? Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I admettant des primitives sur I. x0 et y0 sont deux réels fixés avec x0 appartenant à I. f admet une unique primitive F0 sur I telle que F0(x0) = y0.

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Démonstration : Soit F une primitive de f sur I, F est fixée. Toutes les primitives G de f sont de la forme F + c où c est uneconstante réelle. La condition G(x0) = y0 est équivalante à F(x0) + c = y0 c’est à dire c = y0 – F(x0). F étant fixée la constante c existe et est unique. La primitive F0 = F + y0 – F(x0) verifie donc les conditions et elle est unique. Remarque : ce théorème nous donne l’existence et l’unicité. Graphiquement, les courbes des primitives réalisent un balayage de la bande verticale du plan qui coupel’axe des abscisses suivant l’intervalle I. La condition F(x0)=y0 est appelée condition initiale. Théorème : On suppose que f et g admettent des primitives sur l’intervalle I. Soit F une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I. Alors : f + g admet des primitives sur I. Ce sont les fonctions du type F + G + c où c est une constante de ! . λ.f (où λ constante réelle) admet des primitives sur I.Ce sont les fonctions du type λF + c où c est une constante de ! . Exercice : Démontrer le théorème précédent. Remarque : la primitive d’un produit ne sera pas obtenue en prenant le produit des primitives : en effet la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.

2. Primitives de référence.
Une lecture “inverse” du tableau des dérivées des fonctions de référence nous donne letableau suivant :

LA FONCTION xa (fonction constante) x  xn où a ∈ R fixé

ADMET POUR PRIMITIVES LES FONCTIONS

SUR L’INTERVALLE

x  ax + c

où c est une constante réelle où c est une constante réelle

!

où n ∈ N x 

1 n +1 1

x n+1 + c

!

x

1 x
n

= x!n

où n ∈ N* et n ≠ 1

x

!n + 1

x ! n+1 + c

où c est une constante réelle où c est une constante...
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