Philosophique

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Distributions, analyse de Fourier, ´quations aux d´riv´es partielles e e e
F. Golse

ii

Table des mati`res e
I Distributions
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1
3 3 6 11 11 21 24 28 33 35 35 38 45 50 53 53 55 55 61 67 70 70 77 78 81 83 86 87 87 89 98

1 Fonctions C ∞ `support compact a 1.1 Calcul diff´rentiel : rappels et notations . . . . . e 1.2 Fonctions de classe C ∞ ` support compact . . . a 1.3 R´gularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . 1.3.2 R´gularisation par convolution . . . . . . e 1.4 Partitions de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5 Appendice : In´galit´s de H¨lder et de Minkowskie e o 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 E.D.P. d’ordre un 2.1 L’´quation de transport . . . . . . . . . . . . e 2.2 Equations de transport ` coefficients variables a 2.3 E.D.P. non lin´aires d’ordre un . . . . . . . . e 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Calcul des distributions 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les distributions : d´finition, convergence . . . . . . . . e 3.2.1 D´finition des distributions . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Convergence des distributions . . . . . . . . . . . 3.2.3 Remarques sur la d´finition des distributions . . e 3.3 Op´rations sur les distributions . . . .. . . . . . . . . . e 3.3.1 D´rivation des distributions . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Multiplication par une fonction de classe C ∞ . . 3.3.3 Localisation et recollement des distributions . . . 3.3.4 Changement de variables dans les distributions . 3.3.5 D´rivation/Int´gration sous le crochet de dualit´ e e e 3.3.6 Produit de distributions . . . . . . . . . . . . . . 3.4 La formule des sautset ses variantes . . . . . . . . . . . 3.4.1 Formule des sauts en dimension N = 1 . . . . . . 3.4.2 Formule des sauts en dimension quelconque . . . 3.5 Distributions homog`nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . e iii

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iv3.6 3.7 3.8

` TABLE DES MATIERES Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Appendice : Quelques propri´t´s de la fonction Γ . . . . . . . . . 110 ee Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 117 118 118 121 123 129 135 135 138 141 148 151 152 156 163 168 178 180 185 192

4 Support et convolution des distributions 4.1 Lesdistributions ` support compact . . . . . . . . . . . . . . . a 4.1.1 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Distributions ` support compact . . . . . . . . . . . . . a 4.1.3 Structure des distributions ` support dans un singleton a ∞ 4.2 Convolution Cc D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Op´rations sur les distributions (suite) . . . . . . . . . . . . . . e4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . 4.3.2 Composition d’une distribution et d’une application C ∞ 4.4 Produit de convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Transformation de Fourier 5.1 La classe de Schwartz S(RN ) . . . . . . . . . 5.2 La transformation de Fourier sur S . . . . .. 5.3 Les distributions temp´r´es . . . . . . . . . . ee 5.4 La transformation de Fourier sur S . . . . . 5.5 Transformation de Fourier partielle . . . . . . 5.6 Transformation de Fourier et s´ries de Fourier e 5.7 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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