Physique

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  • Publié le : 13 novembre 2011
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Oscillations d’un objet ` fond sph´rique. a e
Il existe de nombreuses variantes ` cet exercice : demi-sph`re, sph`re lest´e, verre de b´b´ qui se a e e e e e redresse tout seul mais vid´ (qui a bien pu avoir cette id´e saugrenue ?), etc. Comme la physique se e e cache dans la mise en ´quation du mouvement et non dans la recherche du centre de gravit´ G ni dans e e le calcul du moment d’inertieJ, nous donnerons ici une version capable de s’adapter ` tous les cas de a figure. En fin d’exercice et ` titre indicatif, nous montrerons dans un cas particulier comment placer G a et calculer J. Un objet quelconque de masse M est pos´ sur le sol par une face de forme sph´rique de centre C e e − − → de rayon R ; son centre de gravit´ G n’est pas confondu avec C et l’on note a = CG . e A l’´quilibreCG est bien ´videmment vertical ; le point de contact avec le sol est alors choisi comme e e origine O ; l’axe Oz est vertical ascendant et l’on se limite aux mouvements pour lesquels le centre de gravit´ reste dans le plan Ozx. On note J le moment d’inertie par rapport ` l’axe Gy e a − − → On note x l’abscisse du centre C et θ l’angle que fait CG avec la verticale descendante ; le sens → ˙→positif de rotation dans le plan Ozx va de Oz vers Ox ; le vecteur rotation est donc − = θ − ; on note ω e
y

I le point de contact de la sph`re avec le sol (voir figure). On se limite ` l’´tude de mouvements de e a e roulement sans glissement.

Question 1 : ˙ Quel lien y a-t-il entre x, vitesse du centre C et la vitesse angulaire θ de la sph`re ? ˙ e En d´duire un lien entre x et θ. Ce dernierlien ´tait-il pr´visible ? e e e Le champ des vitesses du solide est tel que → → → − =− +− ∧− v C →I CI ω v soit, sans oublier l’hypoth`se de non glissement en I e → − → ˙→ ˙→ x− = 0 − R− ∧ θ− = Rθ− ˙→ ex ez ey ex

d’o` u

˙ x = Rθ ˙

On en d´duit par int´gration, sachant qu’` l’´quilibre le choix du param´trage entraˆ que x et θ e e a e e ıne sont nuls, la relation x = R θ. Ce qui est tout afait naturel ; pensons ` la roue de v´lo : quand on a fait a e un tour de roue (θ = 2 π), on a avanc´ de son p´rim`tre (x = 2 π R). e e e 1

Question 2 : En d´duire en fonction de θ, de ses d´riv´es et des constantes du probl`me, l’´nergie e e e e e cin´tique de la sph`re lest´e, son ´nergie potentielle de pesanteur. e e e e Rappelons le second th´or`me de K¨nig dans le cas d’un solide : e e oEcin = 1 1 1 → → → ∗ M − 2 + Ecin = M − 2 + J − 2 vG vG ω 2 2 2

→ Il ne nous reste, pour exploiter cette formule, qu’` calculer − en la d´duisant de la formule du a vG e champ des vitesses d’un solide en utilisant comme second point soit I, soit C (finalement plus ais´ car e − → les composantes de CI sont plus simples ` calculer). a − → → → − = − + − ∧ − = R θ − + a (sin θ − + cos θ − ) ∧ θ − = θ[(R − a cos θ) − + a sin θ − ] → → → → ˙→ ˙→ ˙ v G →C GC ω v ex ex ez ey ex ez Quelques calculs simplissimes conduisent alors ` a Ecin = soit encore ˙ θ2 [M (R − a cos θ)2 + M a2 sin2 θ + J] 2 Ecin = ˙ θ2 [M (R2 − 2 a R cos θ + a2 ) + J] 2

L’´nergie potentielle de pesanteur est simplement e Epot = M g zG = M g (R − a cos θ) Question 3 : En d´duire la p´riode T des petites oscillations. e e Leth´or`me de l’´nergie indique que la d´riv´e de l’´nergie m´canique (somme des ´nergies cin´tique e e e e e e e e e et potentielle de pesanteur) par rapport au temps est ´gale ` la somme des puissances int´rieure et e a e ext´rieure (sauf celle de pesanteur dont on a d´j` tenu compte via l’´nergie potentielle). Le syst`me e ea e e ´tudi´ est un solide, les forces int´rieures ne travaillent(puissance nulle donc) et il n’y a pas glissement, e e e donc la force de contact a une puissance nulle (la vitesse du point d’application de cette force est nulle). Donc l’´nergie m´canique est constante ; sa d´riv´e temporelle est nulle. e e e e Dans le cadre des petites oscillations, il vaut mieux effectuer les approximations qui s’imposent avant de d´river, les calculs n’en seront que plus simples....
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