Piratage informatique

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Calculabilit´ e
Pascal Manoury 17 octobre 2007
Donner une id´e de la notion de «calculable» ; montrer d’ind´cidabilit´ du probl`me de l’arrˆt. e e e e e «Calculabilit´» (en anglais «computability») est le terme choisi par A. Turing pour recouvrir les notions e de «m´canicit´» et d’«effectivit´» des processus de calcul et de preuve en math´matique qu’il ´tudia et pr´cisa e e e e e e dans sonarticle de 1936 («On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungsproblem») en d´finissant ses fameuses «Logical Computing Machines» connues aujourd’hui sous le nom de «machines de e Turing». Pour A. Turing, est «calculable» ce qui l’est par ses machines. De son cˆt´, A. Church proposait un oe autre mod`le de calcul bas´ sur un formalisme de notation des fonctions math´matiques : le«λ-calcul» (lire e e e «lambda calcul»). Tous deux montr`rent que l’ensemble des fonctions calculables selon leurs mod`les co¨ e e ıncide avec l’ensemble des «fonctions r´cursives g´n´rales» ´labor´ par J. Herbrand/K. G¨del/W. Ackermann. e e e e e o L’´quivalence des mod`les renforce le bien fond´ du concept de «calculabilit´» et laisse ` penser que celuie e e e a ci a ´t´ correctement cern´ : c’est la«th`se de Church-Turing». On dispose donc d’un moyen d’effectuer tous ee e e les calculs possibles, mais cela ne signifie par pour autant que tout est calculable : au contraire, il y aura toujours un calcul que la machine ne saura faire. Nous introduisons dans cette note la notion de calculabilit´ en en donnant deux mod`les : les fonctions e e r´cursives g´n´rales et les «machines ` registresillimit´s» qui sont un mod`le de calcul plus r´cent et plus e e e a e e e proche des «machines ` calculer» que sont les ordinateurs contemporains que ne le sont les machines de a Turing. Nous montrons l’´quivalence des deux mod`les propos´s. Nous prouvons bri`vement en fin de note e e e e que la solution du probl`me de savoir si un programme (pour une machine ` registre) est susceptible de e a boucler ounon n’est pas calculable : c’est «l’ind´cidabilit´ du probl`me de l’arrˆt». e e e e

1

Deux mod`les de calculabilit´ e e

Ces mod`les visent ` capturer le cœur de la notion de calculabilit´. Ils ne se veulent pas r´alistes en ce e a e e sens que – ils ne concernent que les fonctions des entiers naturels dans les entiers naturels – nous verrons toutefois que l’on peut d´j` y d´finir etmanipuler des structures de donn´es ; ea e e – ils ne s’int´ressent pas encore ` la notion d’efficacit´ ni d’effectivit´ en temps ou en espace mais e a e e seulement ` la notion de possibilit´ d’un processus de calculs. a e Leur principe est de poser un ensemble minimal de briques de d´part et de moyens de composition ou e combinaison.

1.1

Fonctions r´cursives e

L’ensemble des fonctions «r´cursives»est le plus petit ensemble de fonctions qui contient e R1 les «fonctions constantes» : c(x1 , . . . , xk ) = 0 R2 la fonction «successeur» : s(x) = x + 1 R3 les «projections» : pi (x1 , . . . , xk ) = xi avec 1 ≤ i ≤ k et qui est clos par 1

R4 «composition» : soient h, g1 , . . . , gn des fonctions r´cursives, la fonction f telle que e f (x1 , . . . , xk ) = h(g1 (x1 , . . . , xk ), . . . ,gn (x1 , . . . , xk )) est r´cursive. e R5 «sch´ma primitif r´cursif» : soient h et g deux fonctions r´cursives, la fonction f telle que e e e f (0, x1 , . . . , xk ) f (x + 1, x1 , . . . , xk ) = h(x1 , . . . , xk ) = g(x, x1 , . . . , xk , f (x, x1 , . . . , xk ))

est r´cursive. e R6 et «sch´ma de minimisation» : soit g une fonction, on note µx.(g(x1 , . . . , xk , x) = 0) le plus petit x etel que g(x1 , . . . , xk , x) = 0. Notons qu’un tel x peut ne pas exister. Soit g une fonction r´cursive, la fonction f d´finie par e e f (x1 , . . . , xk ) = µx.(g(x1 , . . . , xk , x) = 0) est r´cursive. e Pour l’intuition informatique : les primitives r´cursives correspondent ` des it´rations born´es (boucles for) e a e e et le sch´ma µ ` des it´rations non born´es (boucles while). e a e e...
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