Le problème des pesées
1. Description du problème
Toute expérimentation est faite pour répondre à une ou plusieurs questions dans un domaine donné. Le but de la planification expérimentale est de choisir astucieusement des essais qui permettront de répondre aux questions posées avec une précision maximum. Par un exemple simple, nous allons illustrer l'importance de la planification expérimentale et son implication sur la précision des résultats qu'on peut retirer de l'expérimentation. Le problème consiste à déterminer la masse de trois objets A, B et C au moyen d'une balance à deux plateaux.

A

B

C
Figure 1 : Problème des pesées : le matériel

Un essai (ou pesée) consiste à poser aucun, un ou plusieurs objets sur un ou les deux plateaux de la balance puis à établir l'équilibre en ramenant l'aiguille sur le "zéro" à l'aide de masses marquées. Nous supposerons que l'expérimentateur dispose d'un budget de 400 € pour faire cette étude et que chaque pesée coûte 100 €. Les masses des 3 objets doivent donc être déterminés en 4 pesées. Nous adopterons les notations et hypothèses suivantes: • Nous noterons Yi, le résultat de la ième pesée. Ce résultat représente la valeur totale des masses qu'il a fallu mettre sur le plateau de droite de la balance pour l'équilibrer. Si les masses sont mises sur le plateau de gauche, Yi sera affecté d'un signe négatif. • Nous admettrons que l'expérimentateur fait des erreurs de lecture ; c'est-à-dire que l'aiguille n'est pas toujours exactement ramenée sur zéro. Chaque pesée Yi sera donc entachée d'une erreur notée εi • Nous supposerons que l'ordre de grandeur de l'erreur est constante quelque soit l'objet à peser :Variance(εi) = σ2 et que les résultats ne sont pas liés d'un essai à l'autre : Covariance(Yi,Yj)=Cov(εi, εj)=0 • Finalement, nous admettrons qu'en l'absence d'objet sur la balance, l'aiguille ne pointe pas forcément sur "zéro" : une erreur systématique constante inconnue est introduite à chaque pesée. Ces hypothèses