1. Polynômes du second degré
Définition
On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P(x)=ax2+bx+c
où a, b et c sont des réels avec a ≠0
Exemples

P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré.
P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine)
P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.
Théorème et définition
Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
P(x)=a(x−α)2+ β avec α=− b 2a et β=P(α)
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme P.
Exemple

Soit P(x)=2x2+4x+5 α=− b
2a
=−
4
2×2
=−1
β=P(α)=P(−1)=2×(−1)2+4×(−1)+1=2−4+5=3

La forme canonique de P(x) est donc :
P(x)=2(x+1)2+3
2. Equations du second degré
Définition
On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0
Remarque

Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" !
Définition
On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre :
Δ=b2−4ac
Théorème
Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1=
−b−√Δ
2a et x2=
−b+√Δ
2a
Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0=
−b
2a
Si Δ < 0, le polynôme P n'admet aucune racine réelle.
Exemples

P1(x)=−x2+3x−2
Δ=9−4×(−1)×(−2)=1
P1 possède 2 racines : x1= −3−1
−2
=2 et x2=
−3+1
−2
=1
P2(x)=x2−4x+4
Δ=16−4×1×4=0
P2 possède une seule racine : x0=− −4
2
=2
P3(x)=x2+x+1
Δ=1−4×1×1=−3
P3 ne possède aucune racine.
3. Inéquations du second degré
Théorème
Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant Δ
Si Δ > 0 : P(x) est du signe de a à l'extérieur des racines (c'est à dire si x < x1 ou x > x2 ) et du signe opposé entre les racines (si x1 < x < x2)

Si Δ=0 : P(x) est toujours du signe de a sauf en x0 (où il s'annule).

Si Δ< 0 : P(x) est toujours du signe de a