Polynomes

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POLYNÔMES

FRACTIONS ALGEBRIQUES

Gérard Buzaglo

MathématiqueMATH 436 - Lidec Extraits: - Essentiel - Mathématique 2000 MATH 436 - Guérin

1. Polynômes 1.1 Monôme 1.2 Apérationsentre Monômes 1.3 Polynôme 1.4 Sommeet differencede polynômes 1.5 ldentitésremarquables 1.6 Quotientde polynômes 1.7 Théorèmedu reste 2. Factorisation...... simple 2.1 Mise en évidence 2.2 Mise en évidencedouble2.3 Difference de deux carrés en 2.4 Factorisation plusieursétapes 2.5 Trinômes carrésparfaits 2.6 Discriminant du seconddegré "Complétion du carré" 2.7 Trinôme du seconddegré:Méthode "Produit et Somme" 2.8 Trinôme du seconddegré:Méthode "Discriminant" 2.9 Trinôme du seconddesré: Méthode s 3 . F r a c t i o nr a t i o n n e l l e s . . . . . . 3.1 Fractionrationnelle de 3.2 Addition etsoustraction fractionsrationnelles 3.3 Multiplication et division de fractionsrationnelles 4. Exercices. 5. Réponses.

1 . . . . .. . . . . .

.......,..4

.......7

......9 ....18

6 . A n n e x e :- P u i s s a n c e s . . . . . . - Exercices - Réponses

.....Ar ......4r A6

POLV]IÛMES
o Un monôme xest le produit en d'unnombre réelparune puissance entière ron négative de la variable r -3,Ex.: . -3r3 est un monômede coefficient de variablex et d'exposant 2. . ! n'est pas un monôme,"u. I = 5rl, I'exposant-1 étantnégatifx x . 5JI n'est pas un monôme,car 5^[i =5xà, l'e*posant n'étantpas entier. ] o Le degréd'un monômea.rf est égal à I'exposantn de la variable x. Ex.: . Le degréde -3r3 est égal à 2. . [e degÉ du monôme 5 est égal à 0, car 5 = 5f . o Leldegnédu monôme nul 0 estindéterminé, car 0 = Oxl = Ori = O.f = ... . o Certains monôrncsont plusleunsvariableg; Dans cÊ cas, lc degré drn rncrôrræ à plucieurs variablesest égal à la somme degexposantsde ces variables. Ex.: Le degrédu monôme -3r3gP est égat à 5.

3l Deux monômes sont semblables lorsqu'ils sont composés des mêmes variables respectivement affectées des mêmes exposants. Ex.: . 2.É et 5,É sont semblables,r3ts et 39Êne sont pas semblables. . 3*A3 et -5r?gÊ sont semblables, 4*f et f gP ne sont pas semblables. s La distributivitéde la multiplication sur I'additionet la soustractionPermetde réduire à un seul monôme la somme ou la différencede deux monômes semblables.
L

.: 3Ê+5*

= (3+ 5)Ê=8Ê;

axn+b;"=(atb))I 1 0 . É g- 4 É A ' = ( 1 0 - 4 ) É A 2 = 6 Ê g 2 . 2

La loi du produit de deux puissancesdemême base permet de calculer le produit de deux monômes.
a-{n x bxn = abln* n

-Z*At x 5.rig = -1OfsÉ. Er.: 3.f x 4Ê = 12f; de de C La loi du quotient deux puissances même base permet de calculer le quotient d'un par un monômenon nul. monôme
a.{n + b{ = â 'n-n

b

7 L . og ' 3*tgt

(qui n'est pas un monôme).

1.

O Un polVnôme en x est un monôme en X ou une somme de monômesen X. Ex.:Pix) =2Ê -3Ê +5x- 1 est un polynôme en x (ll est composéde 4 monômes). Q(x) = 3* - lx + + est un trinôme en x (ll est composé de 3 monômes). 2 R(x) = 5* - 2x est un binôme en x.(ll est composé de 2 monômes). Génératement, on ordonne les monôines qui composenf un polynôme selon I'ordre décroissant des puissancesde la variable. O Le degré d'un polynôme,une fois réduit,est égal au degrédu monômeayantle plus haut degré. Ex.: P(x) = 3* - 5x + 1 est un polynôme de degré 2 en xP(x, U) =3*A -ZxA + 5x- 2 est un polynôme de degré 2 en x, de degré 1 en g, et de degré total 3. c Évaluer le polynôme P(x) = 2Ê + * - 8x - 4 pour x = -3 consiste à trouver la valeur numérique du polynômequand la variable x prend la valeur -3. On obtient:P(-3) = 2(-3)3 + (-3)2 - 8(-3) - 4 =-54+9+24-4

= -25.
O Onappelle zéro ou racine d'un polynôme toute valeur de la variablequi annule le polynôme. g' Ainsi, 2 est un zéro du polynôme P(x) = 2Ê + * - 8x- 4, car P(2) =

I Les règles d'addition et de soustractionentre monômes semblables axn+bf=1a=b)xnl a.xn-bx'.=(a-b)f permettent d'effectuer des additions et des soustractionsentre polynômes. Ex: La somme S(x) et la différence D(x) des polynômes P(x) = 3ri...
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