Polynomes

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Polynômes du second degré
Différentes formes d’un polynôme
On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sontdes nombres
réels, et a ¹ 0.
On parle parfo is de trinôme du second degré
Exemples
A(x) = x² + 8x – 9 et B(x) = -x² +
5
2
x +
3
7
sont des polynômesdu second degré.
Forme développée, forme factorisée, forme canonique
Un polynôme du second degré peut être sous forme développée, forme factorisée, ou formecanonique. On
appelle forme canonique d’un polynôme du second degré P(x) toute écriture où la variable x n’apparaît qu’une
seule fois.
La forme canoniqued’un polynôme P(x) = ax² + bx + c est P(x) = a
ë ê é
û ú ù
è ç æ
ø ÷ ö
x +
b
2a
2

b² – 4ac
4a²
Exemple
Forme développée : A(x) = x² + 8x – 9
Formefactorisée : A(x) = (x – 1)(x + 9)
Forme canonique : A(x) = (x + 4)² – 25
La forme canonique d’un polynôme permet de conna ître la position du sommet S desa parabole représentative.
Le point S a pour coordonnées ÷ ÷
ø
ö
ç çè
æ -
-
-
2
2
4
4
;
2 a
b ac
a
b
A partir de la forme développée, onutilise la méthode « des débuts de carrés » pour obtenir la forme canonique:
Exemple
Polynôme A(x) est sous forme développée A(x) = x² + 8x – 9
On faitapparaître une expression du type «a² ±
2ab… »
A(x) = x² + 2 ´ 4 ´ x – 9
On rajoute/enlève un « + b² » pour pouvoir factoriser. A(x) = x² + 2 ´ 4 ´ x + 4² – 4² – 9On reconnaît une identité remarquable que l’on
factorise.
A(x) = x² + 2´4x + 4² – 16 – 9
On obtient A(x) sous forme canonique. A(x) = (x + 4)² – 25
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