Polynômes du second degré
Différentes formes d’un polynôme
On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres réels, et a ¹ 0.
On parle parfo is de trinôme du second degré
Exemples
A(x) = x² + 8x – 9 et B(x) = -x² +
5
2 x +
3
7 sont des polynômes du second degré.
Forme développée, forme factorisée, forme canonique
Un polynôme du second degré peut être sous forme développée, forme factorisée, ou forme canonique. On appelle forme canonique d’un polynôme du second degré P(x) toute écriture où la variable x n’apparaît qu’une seule fois.
La forme canonique d’un polynôme P(x) = ax² + bx + c est P(x) = a ë ê é û ú ù è ç æ ø ÷ ö x + b 2a
2
– b² – 4ac
4a²
Exemple
Forme développée : A(x) = x² + 8x – 9
Forme factorisée : A(x) = (x – 1)(x + 9)
Forme canonique : A(x) = (x + 4)² – 25
La forme canonique d’un polynôme permet de conna ître la position du sommet S de sa parabole représentative.
Le point S a pour coordonnées ÷ ÷ ø ö ç çè æ -
-
-
2
2
4
4
;
2 a b ac a b
A partir de la forme développée, on utilise la méthode « des débuts de carrés » pour obtenir la forme canonique:
Exemple
Polynôme A(x) est sous forme développée A(x) = x² + 8x – 9
On fait apparaître une expression du type «a² ±
2ab… »
A(x) = x² + 2 ´ 4 ´ x – 9
On rajoute/enlève un « + b² » pour pouvoir factoriser. A(x) = x² + 2 ´ 4 ´ x + 4² – 4² – 9
On reconnaît une identité remarquable que l’on factorise. A(x) = x² + 2´4x + 4² – 16 – 9
On obtient A(x) sous forme canonique. A(x) = (x + 4)² –