Polynômes

1) Définitions

P(x)=2x+1 est un polynôme de degré 1

Q(x)=[pic] est un polynôme de degré 2

[pic] n’est pas un polynôme

On appelle monôme de degré n toute écriture de la forme [pic], ou [pic] est un réel fixé et x une variable réelle.

On appelle polynôme P toute somme de monômes, ou encore toute écriture de la forme [pic] . n s’appelle le degré du polynôme (le plus grand entier ).

Coefficients : Les réels [pic] sont appelés les coefficients du polynôme.

Quelques exemples de degrés d’un polynôme

Quelques exemples et contre exemples de polynômes

2) Racines d’un polynôme

Soit P un polynôme. On dit que a est racine de P si P(a)=0.

Exemples….

On parle également de zéros du polynôme

Exemples de polynômes (degré 1,2,3

[pic]

3) Propriétés

Th1) 2 polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.

Th 2) a est racine de P si et seulement si [pic], avec deg(Q)=deg(P)-1.

4) Polynômes de degré 2.

[pic], où a, b et c sont des réels fixés, alors que x est une variable.

Factorisation : Si [pic]

[pic]. Or, [pic], d’où,

[pic] et finalement :

[pic] .

[pic]

• Si [pic], alors [pic]

• Si [pic], alors [pic]

[pic]

• [pic]. L’équation P(x)=0 admet donc 2 solutions : [pic] ou [pic] . Le signe de P est alors du signe de a à l’extérieur de racines et du signe de –a à l’intérieur des racines.

[pic]

[pic]

[pic]

Variations avec geogebra

Polynomials 1) Definitions P (x) = 2x +1 is a polynomial of degree 1 Q (x) = is a polynomial of degree 2 is not a polynomial We call any monomial of degree n written form, or is a real set and x a real variable. Any polynomial P is called sum of monomials, or any form of writing. N s'appelle the degree of the polynomial (the greatest integer). Coefficients: The real are called coefficients of