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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2010

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MATHÉMATIQUES

L 'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou nonfructueuse, qu 'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

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Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances:
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l'intervalle [a ,b). On suppose connus les résultats suivants:

•
•

J:(f(t)+g(t))dt= J:f(t)dt+ J:g(t)dt.
Si pour tout tE[a,b), f(t) ?: O alors

J:f(t)dt ?: O. alors Montrerque:sipourtout tE[a,b],

f(t) ~ g(t)

J:f(t)dt ~

J:g(t)dt.

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle /" la fonction définie sur [0, + oo[ par /" (x) == ln (1 + x") et on pose In On note

= J~1n(l+xn)dx.

en

la courbe représentative de

J"

dans un repère orthonormal

(0; i,])

1.

Q.

Déterminer la limite de ~ en + 00

.

b.
c.

Étudier les variations de ~ sur [0, + oo[ .

À l'aide d'une intégration par parties, calculer Il et interpréter graphiquement le résultat.
(Pour le calcul de Il' on pourra utiliser le résultat suivant: pour tout x E

[0,1], - - = 1-- - ) x+1 x+1

x

1

2.

a.

Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a

°

~

In

~

In2 .

b. Étudier les variations de la suite
c. En déduire que la suite

(III) '

(III)

est convergente.

3.

Soit g la fonction définie sur [0, +oo[ par g(x)
Q.

b.

= ln(l +x) Étudier le sens de variation de g sur [0, +oo[ . En déduire le signe de g sur [0, +oo[ .

x.

Montrer alors que pOUT tout entier naturel n non nul,