Pondichery2010

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2010

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MATHÉMATIQUES

L 'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,
même incomplète ou nonfructueuse, qu 'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision desraisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Tournez la page S.V.P.

lOMAOSINl

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Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances:
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l'intervalle [a ,b). On suppose connus les résultats suivants:


•J:(f(t)+g(t))dt= J:f(t)dt+ J:g(t)dt.
Si pour tout tE[a,b), f(t) ?: O alors

J:f(t)dt ?: O.
alors

Montrerque:sipourtout tE[a,b],

f(t) ~ g(t)

J:f(t)dt ~

J:g(t)dt.

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle /" la fonction définie sur [0, + oo[ par /" (x) == ln (1 + x") et on pose In On note

= J~1n(l+xn)dx.

en

la courbe représentative de

J"

dans un repèreorthonormal

(0; i,])

1.

Q.

Déterminer la limite de ~ en + 00

.

b.
c.

Étudier les variations de ~ sur [0, + oo[ .

À l'aide d'une intégration par parties, calculer Il et interpréter graphiquement le résultat.
(Pour le calcul de Il' on pourra utiliser le résultat suivant: pour tout x E

[0,1], - - = 1-- - )
x+1 x+1

x

1

2.

a.

Montrer que pour toutentier naturel non nul n, on a

°

~

In

~

In2 .

b. Étudier les variations de la suite
c. En déduire que la suite

(III) '

(III)

est convergente.

3.

Soit g la fonction définie sur [0, +oo[ par g(x)
Q.

b.

= ln(l +x) Étudier le sens de variation de g sur [0, +oo[ . En déduire le signe de g sur [0, +oo[ .

x.

Montrer alors que pOUT tout entier naturel n non nul,et pour tout x réel positif, on a

ln ( 1+ x" ) ~ x" .

C.

En déduire la limite de la suite

(III) '

lOMAOSINl

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Exercice 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est muni d'un repère orthononnal

(0; t,j,k).

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de laréponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister àfournir un contre-exemple.

1.

La droite de représentation paramétrique { : : équation cartésienne est: x + 2Y + z - 3 = 0 .

~::

, tER est parallèl-e au plan dont une

z = 3t-l

2.

Les

P,P',P" d'équations respectives 4x - y + 4z = 12 n'ont pas de point commun.

plans

x-2y+3z=3,2x+3y-2z=6et

3.

Les droites de représentations paramétriques respectives

= 2-3t
y = 1+ t ,t E { z = -3+2t

X

R

et

x= 7 +2u
y {
4.

= 2+2u , u ER

sont sécantes.

z=-6-u

On considère les points:

A, de coordonnées (-1,0,2), B, de coordonnées (1,4,0), et C, de coordonnées (3, -4, -2) .
Le plan (ABC) a pour équation x + z 5. On considère les points:

=1 .A, de coordonnées (-1,1,3), B, de coordonnées (2,1,0), et C, de coordonnées (4, -1, 5) . On peut écrire C comme barycentre des points A et B.

lOMAOSINl

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Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats

Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On fait tirer à un joueur des boules de l'ume . À chaque tirage,toutes les boules ont la même probabilité
d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3
euros.
On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de...
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