´ CONSERVATOIRE NATIONAL SUPERIEUR DE MUSIQUE ET DE DANSE DE PARIS Formation Sup´rieure aux M´tiers du Son e e Concours d’Entr´e 2006 : e Dur´e : 3 heures e ´ Epreuve de Math´matiques e

Dans toute l’´preuve, j = e

√

−1 et (O, i, j) d´signe le rep`re orthonorm´ de centre O(0, 0). e e e

Exercice 1
Soient les fractions rationnelles H1 (s) = o` s ∈ R. u 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 −26 − 6s + 2s2 −32 − 11s + 4s2 + s3 et H2 (s) = , s3 + 2s2 − 5s − 6 s3 + 2s2 − 5s − 6

Quel est l’ensemble de d´finition de H1 (s) ? e Quels sont les pˆles et les z´ros de H1 (s) ? o e Calculez le d´veloppement en ´l´ments simples de H1 (s). e ee Calculez le d´veloppement en ´l´ments simples de H2 (s). e ee Comment s’exprime H2 (s) en fonction de H1 (s) ?

Exercice 2
−8 6 . On rappelle que les valeurs propres λn de la matrice [A] −12 10 et les vecteurs propres un associ´s v´rifient la condition [A].un = λn un avec n ∈ {1, 2} et un = 0. e e Soit la matrice [A] = 2.1 2.2 Calculez le d´terminant et la matrice inverse de [A]. e Trouvez les valeurs propres de [A].

2.3 Si les valeurs propres sont class´es par ordre croissant, comment s’´crit alors la matrice e e diagonale [D], associ´e ` [A] ? e a 2.4 Les deuxi`mes coordonn´es des vecteurs propres, celles suivant j, sont respectivement e e choisies ´gales ` 1 et 2. Calculez alors les coordonn´es manquant pour d´finir compl`tement les e a e e e vecteurs propres. 2.5 Comment s’´crit alors la matrice de passage [P ] telle que [A].[P ] = [P ].[D] ? e

1

− → dX (t) − → = [A].X (t) 2.6 Trouvez la solution g´n´rale du syst`me d’´quations diff´rentielles e e e e e dt x1 (t) y1 (t) − → − → − → − → avec X (t) = . On pourra utiliser Y (t) = tel que X (t) = [P ]Y (t). x2 (t) y2 (t) 2.7 Quelle est alors la solution particuli`re de la question 2.6 qui v´rifie la condition initiale e e 2 − → X (0) = ? 1

Exercice 3
+ On consid`re les deux fonctions ψp (r, t) = ϕ1 (t − e

t ∈ R et r ∈ R+ n´cessaire. e 3.1

1 r r + ) et ψs (r, t) = .ϕ1 (t − )