Pouvoir politique / force

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´ CONSERVATOIRE NATIONAL SUPERIEUR DE MUSIQUE ET DE DANSE DE PARIS Formation Sup´rieure aux M´tiers du Son e e Concours d’Entr´e 2006 : e Dur´e : 3 heures e ´ Epreuve de Math´matiques e

Dans toute l’´preuve, j = e



−1 et (O, i, j) d´signe le rep`re orthonorm´ de centre O(0, 0). e e e

Exercice 1
Soient les fractions rationnelles H1 (s) = o` s ∈ R. u 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 −26 − 6s + 2s2−32 − 11s + 4s2 + s3 et H2 (s) = , s3 + 2s2 − 5s − 6 s3 + 2s2 − 5s − 6

Quel est l’ensemble de d´finition de H1 (s) ? e Quels sont les pˆles et les z´ros de H1 (s) ? o e Calculez le d´veloppement en ´l´ments simples de H1 (s). e ee Calculez le d´veloppement en ´l´ments simples de H2 (s). e ee Comment s’exprime H2 (s) en fonction de H1 (s) ?

Exercice 2
−8 6 . On rappelle que les valeurspropres λn de la matrice [A] −12 10 et les vecteurs propres un associ´s v´rifient la condition [A].un = λn un avec n ∈ {1, 2} et un = 0. e e Soit la matrice [A] = 2.1 2.2 Calculez le d´terminant et la matrice inverse de [A]. e Trouvez les valeurs propres de [A].

2.3 Si les valeurs propres sont class´es par ordre croissant, comment s’´crit alors la matrice e e diagonale [D], associ´e ` [A] ? e a 2.4Les deuxi`mes coordonn´es des vecteurs propres, celles suivant j, sont respectivement e e choisies ´gales ` 1 et 2. Calculez alors les coordonn´es manquant pour d´finir compl`tement les e a e e e vecteurs propres. 2.5 Comment s’´crit alors la matrice de passage [P ] telle que [A].[P ] = [P ].[D] ? e

1

− → dX (t) − → = [A].X (t) 2.6 Trouvez la solution g´n´rale du syst`me d’´quationsdiff´rentielles e e e e e dt x1 (t) y1 (t) − → − → − → − → avec X (t) = . On pourra utiliser Y (t) = tel que X (t) = [P ]Y (t). x2 (t) y2 (t) 2.7 Quelle est alors la solution particuli`re de la question 2.6 qui v´rifie la condition initiale e e 2 − → X (0) = ? 1

Exercice 3
+ On consid`re les deux fonctions ψp (r, t) = ϕ1 (t − e

t ∈ R et r ∈ R+ n´cessaire. e 3.1

1 r r + ) et ψs (r, t) = .ϕ1 (t − ) desvariables c0 r c0 avec c0 ∈ R et ϕ1 une fonction continue et d´rivable autant de fois que e

+ V´rifiez que ψp (r, t) v´rifie l’´quation aux d´riv´es partielles suivante : e e e e e + + ∂ψp (r, t) 1 ∂ψp (r, t) + . =0 ∂r c0 ∂t + + ∂ψs (r, t) ∂ψs (r, t) et . ∂t ∂r + + ∂ψs (r, t) + ∂ψs (r, t) , ψs (r, t) et . ∂t ∂r

∀(r, t) ∈ R+∗ x R

3.2

Calculez respectivement

3.3

D´terminez l’´quationaux d´riv´es partielles liant e e e e ∂ + r.ψs (r, t) . ∂r

3.4

Calculez

3.5 En utilisant le r´sultat des questions pr´c´dentes, proposez une ´quation aux d´riv´es e e e e e e + (r, t) que celle trouv´e en 3.3. e partielles plus simple pour ψs r 1 r − ) et ψs (r, t) = .ϕ2 (t − ) o` u c0 r c0 ϕ2 d´signe une fonction continue et d´rivable autant de fois que n´cessaire. e e e
− On consid`reles deux nouvelles fonctions ψp (r, t) = ϕ2 (t − e

3.6 D´terminez sans calculs, en expliquant votre d´marche, les ´quations aux d´riv´es pare e e e e − − tielles v´rifi´es respectivement par ψp (r, t) et ψs (r, t). e e On introduit deux nouvelles fonctions ψp (r, t) et ψs (r, t) grˆce aux deux relations suivantes : a
+ − • ψp (r, t) = ψp (r, t) + ψp (r, t) ; + − • ψs (r, t) = ψs (r, t) + ψs(r, t).

3.7 Trouvez alors les ´quations aux d´riv´es partielles, les plus simples possibles, v´rifi´es e e e e e respectivement par ψp (r, t) et ψs (r, t).

2

Exercice 4
On consid`re la fonction H(s) de la variable complexe s, non nulle, d´finie par e e H(s) = s s+1

et on consid`re dans la suite que s = jω avec ω ∈ R+∗ . e On pose G(ω) = 20. log(|H(ω)|), le gain en d´cibels (unit´ not´edB dans la suite) associ´ ` e e e ea H(ω) o` |H(ω)|) correspond au module de H(ω), log au logarithme d´cimal. On supposera que u e 20. log(2) ≈ 6. 4.1 4.2 4.3 4.4 Calculez l’expression de G(ω). D´terminez l’expression des asymptotes quand ω → 0 et ω → +∞. e D´terminez la valeur ω0 de ω telle que G(ω0 ) ≈ −3 dB. e A partir des r´sultats pr´c´dents tracez l’allure de G(ω). e e e

4.5 On...
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